버코프-그로텐디크 정리

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 버코프-그로텐디크 정리(틀:Llang)는 복소 사영 직선 위의 정칙 벡터 다발을 분류한다. 특히 ${ℂ\mathbb{P}}^1$ 위의 모든 정칙 벡터 다발은 정칙 선다발들의 직합이다. 정리는 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 증명했다. 이는 조지 버코프가 1909에 도입한 버코프 인수분해와 거의 동일하다.

진술

보다 정확하게 정리의 진술은 다음과 같다.

모든 ${ℂ\mathbb{P}}^1$ 위의 정칙 벡터 다발 $ℰ$는 선다발의 직합과 정칙 동형이다:

$ℰ\cong 𝒪(a_1)\oplus \cdots \oplus 𝒪(a_n).$

표기법은 각 합이 자명한 다발의 세르 꼬임임을 의미한다. 표현은 순열을 기준으로 유일하다.

일반화

임의의 체 $k$에 대해 ${\mathbb{P}}_k^1$ 위의 대수적 벡터 다발에 대한 대수 기하학에서도 동일한 결과가 성립한다. 그것은 또한 하나 또는 두 개의 오비폴드 점을 가진 ${\mathbb{P}}^1$에서도, 꼭지점을 따라 만나는 사영 직선 사슬에 대해서도 성립한다.

응용

이 정리로부터 모든 ${ℂ\mathbb{P}}^1$위의 연접층의 분류 할 수 있다.. 부분 다형체를 따라 지지되는 벡터 다발과 연접층 $𝒪(k),{𝒪}_{nx}$두 가지 경우가 있다. 여기서 n은 $x\in {ℂ\mathbb{P}}^1$에서 두터운 점의 차수이다. 유일한 부분 다형체는 점이므로 연접층의 완전한 분류가 가능하다.

같이 보기

• 사영 공간의 대수 기하학
• 오일러 수열
• 분할 원리
• K이론
• 줄넘기

추가 읽기

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 로만 베즈루카브니코프. 18.725 대수 기하학 ( LEC # 24 Birkhoff–Grothendieck, Riemann-Roch, Serre Duality ) 2015년 가을. 매사추세츠 공과대학: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA.