딸림표현

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 딸림표현(-表現, 틀:Llang)은 어떤 리 군이 스스로의 리 대수 위에 가지는 표준적인 표현이다.

정의

리 군 $G$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

$\varphi :G\to \mathrm{Aut}(G)$

$\varphi :g\mapsto {\varphi }_g$

${\varphi }_g:h\mapsto gh{g}^{-1}(g,h\in G)$

이제, 그 원점 $1\in G$에서의 밂을 취하자.

${\mathrm{D}}_1({\varphi }_g):{\mathrm{T}}_{1}G\to {\mathrm{T}}_{1}G$

이제, ${\mathrm{T}}_{1}G=𝔤$는 리 대응 아래 $G$에 대응하는 리 대수이며, ${\mathrm{D}}_1({\varphi }_g):𝔤\to 𝔤$는 리 대수의 자기 준동형이다. 즉, 이는 사상

$\mathrm{Ad}:G\to \mathrm{Aut}(𝔤)$

를 정의한다. 특히, 만약 $𝔤$의 리 대수 구조를 잊고 단순히 실수 벡터 공간으로 간주한다면, 이는 $G$의 유한 차원 실수 표현을 이룬다. 이를 리 군 $G$의 딸림표현이라고 한다.

리 대수의 딸림표현

임의의 가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사상

$\mathrm{ad}:𝔤\to 𝔡𝔢𝔯(𝔤)\subseteq {\mathrm{End}}_K(𝔤)$

${\mathrm{ad}}_x:y\mapsto [x,y]$

은 $𝔤$의, 스스로 위의 리 대수 미분의 리 대수로 가는 리 대수 준동형이며, 특히 $𝔤$의 표현으로 여겨질 수 있다. 이를 $𝔤$의 딸림표현이라고 한다.

성질

리 군 $G$의 (리 대응 아래 대응하는) 리 대수가 $𝔤$라고 하자. 그렇다면, 그 리 군 딸림표현

$\mathrm{Ad}:G\to \mathrm{Aut}(𝔤)$

의, 원점 $1\in G$에서의 밂을 취하자.

${\mathrm{T}}_1\mathrm{Ad}:{\mathrm{T}}_{1}G\to {\mathrm{T}}_0\mathrm{Aut}(𝔤)$

그런데

${\mathrm{T}}_{1}G=𝔤$

${\mathrm{T}}_0\mathrm{Aut}(𝔤)=𝔡𝔢𝔯(𝔤)$

이며,

${\mathrm{ad}}_{𝔤}={\mathrm{D}}_1{\mathrm{Ad}}_G$

임을 보일 수 있다.

예

리 대응 아래, 아벨 리 군 $G$의 리 대수는 모든 리 괄호가 0인 벡터 공간이다. 이 경우, $G$의 딸림표현은 항등 함수로 가는 상수 함수이다.

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
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