단면 (올다발)

위상수학에서 단면(斷面, 틀:Llang)은 공간 위의 함수의 개념을 올다발에 대하여 일반화시킨 개념이다. 즉, 대략 올다발의 올 속에 값을 갖는 사상이다.

정의

올다발 $π : E \to X$ 의 단면은 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 $s : X \to E$ 이다.

π \circ s = {id}_{X}

즉, 모든 $x \in X$ 에 대하여 $f (x) \in π^{- 1} (x)$ 이다.

만약 $π$ 가 매끄러운 올다발일 경우 (즉, $E$ 와 $X$ 가 매끄러운 다양체이며 $π$ 가 매끄러운 함수일 경우), $E$ 의 매끄러운 단면(틀:Llang)은 매끄러운 함수인 단면이다.

만약 올다발 $E$ 가 자명 다발 $E = X \times Y$ 라면, 단면은 $Y$ 로 가는 연속 함수 $f : X \to Y$ 가 된다. 즉, 단면은 공역이 점에 따라 달라지는, 함수의 일반화이다.

다양체의 접다발의 단면은 벡터장이라고 한다.