사인 법칙

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 사인 법칙(-法則, 틀:Llang) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.

정의

삼각형 $ABC$의 각 $A,B,C$을 마주보는 변을 $a,b,c$라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다.틀:Rp

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

여기서 $R$은 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름이다.

증명

삼각형의 넓이를 통한 증명

사인 법칙의 증명

삼각형 $ABC$의 변 $c$ 위의 높이를 $h$라고 하자.틀:Rp 삼각법에 따라 $h=b\sin A$이므로, 삼각형 $ABC$의 넓이 $K$는 다음과 같다.

$K=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}bc\sin A$

자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.

$2K=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C$

양변에 $abc$를 나누면 사인 법칙을 얻는다.

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

외접원을 통한 증명

틀:여러 그림 삼각형 $ABC$의 외접원을 그리자.틀:Rp $A$를 지나는 지름을 $AD$라고 하자. 따라서 $ABD$는 직각 삼각형이며, 빗변은 $AD=2R$이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

$c=2R\sin D$

만약 $C$가 예각일 경우, $C$와 $D$는 같은 호의 원주각이므로 $\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }D$이다. 따라서 다음이 성립한다.

$c=2R\sin C$

만약 $C$가 직각일 경우, $B$와 $D$는 같은 점이므로, $2R=c$이며 $\sin C=1$이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 $C$가 둔각일 경우, $C$와 $D$는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, $\mathrm{\angle }C=\pi -\mathrm{\angle }D$이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 $A,B$에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.

코사인 법칙을 통한 증명

코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}\frac{{\sin }^{2}A}{a^2}& =\frac{1-{\cos }^{2}A}{a^2}\\ & =\frac{4b^2{c}^2-4b^2{c}^2{\cos }^{2}A}{4a^2{b}^2{c}^2}\\ & =\frac{4b^2{c}^2-(b^2+c^2-4bc{)}^2}{4a^2{b}^2{c}^2}\\ & =\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}{4a^2{b}^2{c}^2}\end{array}$

결과가 $a,b,c$에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.

구면 사인 법칙

단위 구면 위의 구면 삼각형 $ABC$의 각 $A,B,C$가 마주보는 변을 $a,b,c$라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, 틀:Llang)에 따르면 다음이 성립한다.

$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}$

구면 사인 법칙의 증명

순수 기하 증명

구의 중심을 $O$라고 하자. $OA$에서 아무 점 $P$를 취하자. $P$를 지나는 평면 $BOC$의 수선을 $PD$라고 하자. $D$를 지나는 직선 $OB,OC$의 수선을 각각 $DE,DF$라고 하자. 삼수선 정리에 따라 $PE,PF$는 각각 $OB,OC$와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

$PD=PE\sin B=OP\sin c\sin B$

$PD=PF\sin C=OP\sin b\sin C$

두 식에서 $PD/OP$를 소거하면 다음을 얻는다.

$\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}$

남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.틀:Rp

벡터를 통한 증명

구의 중심과 세 꼭짓점 $A,B,C$를 잇는 벡터를 각각 $𝐚,𝐛,𝐜$라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$(𝐚\times 𝐛)\times (𝐚\times 𝐜)=((𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜)𝐚$

$(𝐛\times 𝐚)\times (𝐛\times 𝐜)=((𝐛\times 𝐚)\cdot 𝐜)𝐛$

$(𝐜\times 𝐚)\times (𝐜\times 𝐛)=((𝐜\times 𝐚)\cdot 𝐛)𝐜$

따라서 다음이 성립한다.

$|(𝐚\times 𝐛)\times (𝐚\times 𝐜)|=|(𝐛\times 𝐚)\times (𝐛\times 𝐜)|=|(𝐜\times 𝐚)\times (𝐜\times 𝐛)|$

여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

$|(𝐚\times 𝐛)\times (𝐚\times 𝐜)|=\sin c\sin b\sin A$

$|(𝐛\times 𝐚)\times (𝐛\times 𝐜)|=\sin c\sin a\sin B$

$|(𝐜\times 𝐚)\times (𝐜\times 𝐛)|=\sin b\sin a\sin C$

구면 코사인 법칙을 통한 증명

제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}\frac{{\sin }^{2}A}{{\sin }^{2}a}& =\frac{1-{\cos }^{2}A}{{\sin }^{2}a}\\ & =\frac{{\sin }^{2}b{\sin }^{2}c-{\sin }^{2}b{\sin }^{2}c{\cos }^{2}A}{{\sin }^{2}a{\sin }^{2}b{\sin }^{2}c}\\ & =\frac{{\sin }^{2}b{\sin }^{2}c-(\cos a-\cos b\cos c{)}^2}{{\sin }^{2}a{\sin }^{2}b{\sin }^{2}c}\\ & =\frac{1-{\cos }^{2}a-{\cos }^{2}b-{\cos }^{2}c+2\cos a\cos b\cos c}{{\sin }^{2}a{\sin }^{2}b{\sin }^{2}c}\end{array}$

쌍곡 사인 법칙

가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 $ABC$의 각 $A,B,C$가 마주보는 변을 $a,b,c$라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, 틀:Llang)에 따르면 다음이 성립한다.틀:Rp

$\frac{\sinh a}{\sin A}=\frac{\sinh b}{\sin B}=\frac{\sinh c}{\sin C}$

여기서 $\sinh$는 쌍곡 사인이다.

쌍곡 사인 법칙의 증명

쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명

제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}\frac{{\sin }^{2}A}{{\sinh }^{2}a}& =\frac{1-{\cos }^{2}A}{{\sinh }^{2}a}\\ & =\frac{{\sinh }^{2}b{\sinh }^{2}c-{\sinh }^{2}b{\sinh }^{2}c{\cos }^{2}A}{{\sinh }^{2}a{\sinh }^{2}b{\sinh }^{2}c}\\ & =\frac{{\sinh }^{2}b{\sinh }^{2}c-(\cosh b\cosh c-\cosh a{)}^2}{{\sinh }^{2}a{\sinh }^{2}b{\sinh }^{2}c}\\ & =\frac{1-{\cosh }^{2}a-{\cosh }^{2}b-{\cosh }^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}{{\sinh }^{2}a{\sinh }^{2}b{\sinh }^{2}c}\end{array}$

같이 보기

• 코사인 법칙
• 탄젠트 법칙
• 코탄젠트 법칙

외부 링크

• 틀:Proofwiki