유니터리 표현

틀:위키데이터 속성 추적 군 표현론에서 유니터리 표현(unitary表現, 틀:Llang)은 모든 군 원소의 상이 어떤 복소수 힐베르트 공간 위의 유니터리 작용소를 이루는 군 표현이다.

정의

위상군 $G$의 유니터리 표현은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 복소수 힐베르트 공간 $V$
• 군 준동형 $\pi :G\to \mathrm{U}(V)$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $\pi$는 연속 함수이다. (여기서 $\mathrm{U}(V)$ 위에는 작용소 노름 거리 위상을 부여한다.)

같은 위상군 $G$의 두 유니터리 표현 $(\pi ,V)$, $({\pi }^{\prime },V^{\prime })$ 사이의 유니터리 얽힘 연산자(틀:Llang)는 다음 조건을 만족시키는 유니터리 작용소 $T:V\to V^{\prime }$이다.

$T\pi (g)={\pi }^{\prime }(g)T^{\prime }\mathrm{\forall }g\in G$

두 유니터리 표현 사이에 유니터리 얽힘 연산자가 존재한다면, 서로 유니터리 동치(틀:Llang)라고 한다.

성질

제2 페터-바일 정리

위상군 $G$의 유니터리 표현 $\pi :G\to \mathrm{U}(V)$이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 부분 복소수 벡터 공간 $W\le V$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• $G$의 작용에 대하여 불변이다. (즉, 임의의 $g\in G$에 대하여 $\pi (g)W=W$이다.)

그렇다면 $\mathrm{cl}(W)$와 $W^{\perp }=\{v\in V:⟨w|v⟩=0\}$ 역시 닫힌 불변 부분 공간이며,

$\pi ={\pi }_{\mathrm{cl}(W)}\oplus {\pi }_{W^{\perp }}$

로 분해된다.

증명:

$W^{\perp }$가 불변 공간임을 보이려면, 임의의 $g\in G$ 및 $v\in W^{\perp }$ 및 $w\in W$에 대하여,

$⟨w|\pi (g)|v⟩=0$

임을 보이면 족하다. 그런데 유니터리 표현의 정의에 의하여

$⟨w|\pi (g)|v⟩=⟨\pi (g^{-1})w|v⟩=0$

이다. 특히, $\mathrm{cl}(W)=W^{\perp \perp }$ 역시 닫힌 불변 부분 공간이다. 이에 따라:$V=\mathrm{cl}(W)\oplus W^{\perp }$ 이다.

사실, 다음과 같은 제2 페터-바일 정리가 성립한다.

임의의 콤팩트 위상군 $G$의 유니터리 표현 $(\pi ,V)$에 대하여,

$\pi =\widehat{⨁}{\pi }_i$

$V=\widehat{⨁}{V}_i$

가 되는 유한 차원 기약 유니터리 표현들의 족 $({\pi }_i,V_i{)}_{i\in I}$이 존재한다.

여기서 $\widehat{⨁}$는 힐베르트 공간의 직합, 즉 (대수적) 직합의 완비화이다.

제1 페터-바일 정리

콤팩트 위상군 $G$ 위의 르베그 공간 $L^2(G;ℂ)$를 생각하자. 여기서 제곱 적분 가능이란 하르 측도에 따른 것이며, 편의상 $\mathrm{vol}(G)=1$로 규격화하자.

$G$의 임의의 유한 차원 유니터리 기약 표현 $r:G\to \mathrm{U}(V_r)$에 대하여, $V_r$에 임의의 기저를 잡아 행렬 성분들 $r_{ij}:G\to ℂ$ ($i,j=1,\dots ,{\dim }_{ℂ}{V}_r)$)을 정의할 수 있다. 페터-바일 정리(Peter-Weyl定理, 틀:Llang)에 따르면, 함수들

$\sqrt{{\dim }_{ℂ}{V}_r}{r}_{ij}:G\to ℂ$

은 $L^2(G;ℂ)$의 정규 직교 기저를 이룬다.

역사

페터-바일 정리는 프리츠 페터(틀:Llang)와 헤르만 바일이 1927년에 증명하였다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:Nlab
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• 틀:저널 인용