야코비 형식

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 야코비 형식(틀:Llang)은 야코비 군 $\mathrm{Sp}(n;ℝ)⋊H_{ℝ}^{(n,h)}$에 대한 보형 형식이다. 야코비 세타 함수의 성질을 공리화한 개념이며, 대략 모듈러 형식과 타원함수를 혼합한 개념으로 볼 수 있다.

정의

무게(틀:Llang)가 k이고 지표(틀:Llang)가 m인 야코비 형식 $\varphi (\tau ;z)$은 두 개의 복소 변수 $\tau \in ℍ$ (상반평면), $z\in ℂ$에 대한, 다음 조건들을 충족시키는 함수이다.

• $\varphi (\frac{a\tau +b}{c\tau +d},\frac{z}{c\tau +d})=(c\tau +d{)}^k{e}^{\frac{2\pi imc{z}^2}{c\tau +d}}\varphi (\tau ,z)$ ($\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{\Gamma }=\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})$
• 임의의 정수 $\lambda ,\mu$에 대하여, $\varphi (\tau ,z+\lambda \tau +\mu )=e^{-2\pi im({\lambda }^2\tau +2\lambda z)}\varphi (\tau ,z)$
• $\varphi$는 다음과 같은 푸리에 급수를 갖는다.

$\varphi (\tau ,z)=\sum _{n\ge 0}\sum _{r^2\le 4mn}c(n,r)e^{2\pi i(n\tau +rz)}.$

또한, 변수가 2개가 아니라 n개인 경우 $\varphi (\tau ;z_1,z_2,\dots )$에도 정의할 수 있다. 이 경우 n을 야코비 형식의 준위(틀:Llang)라고 한다.

예

준위가 1 (2변수)인 경우, 야코비 세타 함수와 바이어슈트라스 타원함수가 대표적인 예이다. 또한, 종수가 2인 지겔 모듈러 형식의 푸리에-야코비 계수 또한 2변수 야코비 형식이다.

더 많은 변수의 야코비 형식의 경우, 아핀 리 대수나 가짜 모듈러 형식(mock modular form)의 이론에 등장한다.

응용

야코비 형식은 이론물리학, 특히 2차원 𝒩=2 초등각 장론과 끈 이론에서 등장한다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 2차원 𝒩=2 초등각 장론