테이트-샤파레비치 군
틀:위키데이터 속성 추적 산술기하학에서, 테이트-샤파레비치 군(Tate-Shafarevich群)은 수체 틀:수학위의 아벨 다양체 틀:수학 (또는 더 일반적으로 군 스킴)에 대해 정해지는 군 틀:수학으로, 베유-샤틀레 군 의 원소 중 틀:수학의 모든 완비화(틀:수학에서 얻어지는 실수, 복소수 완비화와 [[P진수|틀:수학 진수체]])에서 자명한 원소로 구성되어 있다. 여기서 는 틀:수학의 절대 갈루아 군이다. 따라서 갈루아 코호몰로지의 관점에서 틀:수학는
으로 정의할 수 있다. 이 군은 서지 랭, 존 테이트틀:Sfn와 이고리 샤파레비치에 의해 소개되었다.틀:Sfn 캐셀스은 표기법 틀:수학를 도입하였다. 여기서 틀:수학는 샤파레비치의 키릴 문자 "샤"로 이전 표기법 틀:수학 또는 틀:수학를 대체한다.
테이트–샤파레비치 군의 원소
기하학적으로, 테이트-샤파레비치 군의 자명하지 않은 원소는 틀:수학 의 모든 자리 틀:수학 에 대해 틀:수학-유리점을 갖지만 틀:수학-유리점은 갖지 않는 틀:수학의 동차 공간으로 생각할 수 있다. 따라서 군은 체 틀:수학를 계수로 하는 유리 방정식에 대해 틀:임시 링크가 유지되지 않는 정도를 측정한다. Carl-Erik Lind는 종수 1 곡선 이 실수체와 모든 틀:수학진수체 위에서 해를 갖지만 유리점을 갖지 않음을 보여줌으로써 그러한 동차 공간의 예를 보였다.틀:Sfn 에른스트 셀머는 를 비롯하여 더 많은 예를 제시했다.틀:Sfn
특수한 경우로, 아벨 다양체에서 주어진 유한 차수 틀:수학의 점으로 구성된 유한 군 스킴에 대한 테이트-샤파레비치 군은 틀:임시 링크과 밀접한 관련이 있다.
테이트-샤파레비치 추측
테이트–샤파레비치 추측은 테이트–샤파레비치 군이 유한하다는 추측이다. 칼 루빈은 복소 곱셈을 사용하여 최대 1의 유리점군 계수를 갖는 일부 타원 곡선에 대해 이를 증명했다.틀:Sfn Victor A. Kolyvagin은 이것을 최대 1의 해석적 랭크의 유리수에 대한 모듈러 타원 곡선으로 확장했다(나중에 모듈러성 정리는 모듈러성 가정이 항상 유지됨을 보여주었다).틀:Sfn
캐셀스–테이트 쌍
캐셀스-테이트 쌍은 쌍선형 쌍 틀:수학이다. 여기서 틀:수학는 아벨 다양체이고 틀:수학는 그 쌍대이다. 캐셀스는 타원곡선에 대해 이러한 쌍을 도입하였는데, 이때 틀:수학는 틀:수학로 식별될 수 있고 쌍은 교대 형식이다.틀:Sfn 이 형식의 핵은 나눌 수 있는 원소로 이루어진 부분군으로, 테이트-샤파레비치 추측이 참이라면 자명 부분군이다. 테이트는 쌍을 테이트 쌍대성의 변형으로 일반 아벨 다양체로 확장했다.틀:Sfn A에 대한 극화의 선택은 틀:수학에서 틀:수학 로 가는 사상을 제공하며, 이는 틀:수학 값을 갖는 틀:수학에 대한 쌍선형 페어링을 유도하지만, 타원 곡선의 경우와 달리 이것은 번갈아 가거나 비대칭 대칭일 필요가 없다.
타원 곡선의 경우, 캐셀스는 쌍이 번갈아 있음을 보여주었고, 그 결과 틀:수학의 차수가 유한하면 정사각형이 된다. 좀 더 일반적인 아벨 다형체의 경우, 틀:수학의 차수가 유한할 때마다 제곱이라고 수년 동안 때때로 잘못 믿어졌다. 이 실수는 테이트의 결과 중 하나를 잘못 인용한 스위너톤다이어틀:Sfn의 논문에서 비롯되었다.틀:Sfn Poonen과 Stoll은 테이트-샤파레비치 군이 차수가 2인 유리수에 대한 특정 종수 2 곡선의 야코비안과 같이 차수가 제곱의 두 배인 몇 가지 예를 제공했다.틀:Sfn 스테인은 거듭제곱이 차수를 나누는 홀수 소수는 홀수이다.틀:Sfn 만약 아벨 다형체가 주극화를 갖는다면, 틀:수학의 형태는 비대칭 대칭이며, 이것은 틀:수학의 차수가 정사각형이거나 (유한한 경우) 정사각형의 두 배라는 것을 의미한다. 유리수 약수(타원 곡선의 경우와 같이)이면 형식이 번갈아 나타나고 틀:수학 의 차수는 제곱이다(유한한 경우).