초곱

틀:위키데이터 속성 추적 모형 이론에서 초곱(超곱, 틀:Llang)은 여러 구조들의 곱집합의 동치류 집합 위에 정의된 더 큰 구조이다.

정의

형이 $σ$ 인 구조들의 집합 ${M_{i}}_{i \in I}$ 및 $I$ 위의 극대 필터 $𝒰$ 가 주어졌다고 하자. $(𝒰, \subset)$ 는 부분 순서 집합이므로, 이를 범주로 간주할 수 있다. 그렇다면 다음과 같은 함자를 정의하자.

F : 𝒰^{op} \to Set

F : S \mapsto \prod_{i \in S} M_{i}

그렇다면, ${M_{i}}_{i \in I}$ 의 초곱 $M$ 은 집합으로서 $F$ 의 쌍대극한 $\lim_{\to} F$ 이다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 순서쌍

{(S, x) : S \in 𝒰, x \in \prod_{i \in I} M_{i}} \in ⨆_{S^{'} \in 𝒰} (S^{'}, \prod_{i \in S^{'}} M_{i})

사이에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.

(S, x) \sim (S^{'}, x^{'}) ⟺ {i \in I : x_{i} = x'_{i}} \in 𝒰

그렇다면

M = \lim_{\to} F = (⨆_{S^{'} \in 𝒰} (S^{'}, \prod S^{'})) / \sim

이다. 여기에 다음과 같은 $σ$ -구조를 부여한다. 여기서 $\vec{x} = (x_{k})_{k = 1, \dots, n}$ , $\vec{S} = (S_{k})_{k = 1, \dots, n}$ , $⋂ \vec{S} = ⋂_{k = 1}^{n} S_{k}$ 따위로 쓰자.

$σ$ 의 각 $n$ 항 연산 $m_{i} : M_{i}^{n} \to M_{i}$ ( $i \in I$ )에 대하여,

m : M^{n} \to M

m : [(\vec{S}, \vec{x})] \mapsto [(⋂ \vec{S}, m_{i} ({\vec{x}}_{i})_{i \in ⋂ \vec{S}})]

$σ$ 의 각 $n$ 항 관계 $R_{i} \subset M_{i}^{n}$ ( $i \in ℐ$ )에 대하여, 다음과 같다.

([(\vec{S}, \vec{x})]) \in R ⟺ {i \in I : {\vec{x}}_{i} \in R_{i}} \in 𝒰

이는 $σ$ 형의 구조를 이룬다는 것을 보일 수 있다.

만약 모든 $M_{i}$ 가 공집합이 아니거나, 아니면 ${i \in I : M_{i} = \emptyset} \in 𝒰$ 라면 $(S, x)$ 에서 $S = I$ 인 경우로 국한할 수 있다. 즉,

M = (\prod_{i \in I} M_{i}) / \sim

으로 정의할 수 있다.

만약 모든 $M_{i}$ 들이 같을 경우, $ℳ$ 의 초곱을 $M$ 의 초거듭제곱(超거듭제곱, 틀:Llang)이라고 한다.

워시 정리

워시 정리(틀:Llang)는 1차 논리의 명제가 초곱에서 성립할 필요충분조건을 제공한다. 부호수 $σ$ 의 구조의 집합 ${M_{i}}_{i \in I}$ 및 극대 필터 $𝒰$ 및 $\vec{a} \in M^{n}$ 및 $σ$ 에 대한, $n$ 개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 명제 $ϕ$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$M ⊨ ϕ ([\vec{a}])$
${i \in I : M_{i} ⊨ ϕ ({\vec{a}}_{i})} \in 𝒰$

이는 예르지 워시(틀:Llang)가 증명하였다.

예

초곱 $\prod M / 𝒰$ 에서, 만약 사용되는 극대 필터가 $i \in I$ 의 주 필터

↑ i = {S \subset I : i \in S}

라면, 초곱은 단순히 $M_{i}$ 를 얻는다.

M ≅ M_{i}

실수 집합 $ℝ$ 는 순서체의 형 $(+, \cdot, -, \leq)$ 의 구조이다. 실수의 집합의 $ℵ_{0}$ 개 초승은 실수의 모든 1차 논리적 성질들을 만족시키며, 이를 초실수라고 한다.

참고 문헌

외부 링크

틀:전거 통제

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정의

워시 정리

예

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