점류

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 점류(點類, 틀:Llang)는 어떤 구체적 범주(예를 들어, 폴란드 공간들의 범주)의 각 대상에 대하여 그 부분 집합들의 집합족을 대응시키며, 특정 함수 아래의 원상에 대하여 닫혀 있는 구조이다.

정의

구체적 범주 $F:𝒞\to \mathrm{Set}$가 주어졌다고 하자. 집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$ 위에는 다음과 같은 멱집합 자기 함자가 존재한다.

$\mathrm{Pow}:\mathrm{Set}\to {\mathrm{Set}}^{\mathrm{op}}$

$\mathrm{Pow}:X\mapsto \mathrm{Pow}(X)$

$\mathrm{Pow}:(f:X\to Y)\mapsto (f^{-1}:\mathrm{Pow}(Y)\to \mathrm{Pow}(X))$

그렇다면, $\mathrm{Pow}\circ F$는 $𝒞$ 위의 준층을 이룬다. $\mathrm{Pow}\circ F$의 부분 준층을 $(𝒞,F)$ 위의 점류라고 한다. 즉, 구체적으로 점류 $\mathrm{\Gamma }$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여, 집합족 $\mathrm{\Gamma }(X)\subseteq \mathrm{Pow}(X)$
• 또한, 임의의 부분 집합 $B\subseteq Y$ 및 사상 $f:X\to Y$에 대하여, 만약 $B\in \mathrm{\Gamma }(Y)$라면 $f^{-1}(B)\in \mathrm{\Gamma }(X)$이다.

구체적 범주 $𝒞$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$에 대하여, $\check{\mathrm{\Gamma }}$는 다음과 같은 점류이다.

$\check{\mathrm{\Gamma }}(X)=X\setminus \mathrm{\Gamma }(X)$

이를 $\mathrm{\Gamma }$의 쌍대 점류(雙對點類, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp 또한, $𝒞$ 위의 점류들의 집합 $\{{\mathrm{\Gamma }}_i{\}}_{i\in I}$에 대하여,

$\bigcap _{i\in I}{\mathrm{\Gamma }}_i:X\mapsto \bigcap _{i\in i}{\mathrm{\Gamma }}_i(X)$

$\bigcup _{i\in I}{\mathrm{\Gamma }}_i:X\mapsto \bigcup _{i\in i}{\mathrm{\Gamma }}_i(X)$

역시 점류이다. 특히, $\mathrm{\Gamma }\cap \check{\mathrm{\Gamma }}$를 $\mathrm{\Gamma }$의 모호 점류(模糊點類, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp틀:Rp

흔히 $(𝒞,F)$가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 $\mathrm{PolTop}$이거나, 또는 표준 보렐 가측 공간과 보렐 가측 함수의 구체적 범주 $\mathrm{stdBorelMeasbl}$를 사용한다.

성질

임의의 기수 $\kappa$ 및 점류 $\mathrm{\Gamma }$에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, $\mathrm{\Gamma }$가 $\kappa$ 미만 합집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.

• 임의의 대상 $X\in 𝒞$ 및 $𝒜\subseteq \mathrm{\Gamma }(X)$에 대하여, 만약 $|𝒜|<\kappa$라면 $\bigcup 𝒜\in \mathrm{\Gamma }(X)$이다.

임의의 기수 $\kappa$ 및 점류 $\mathrm{\Gamma }$에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, $\mathrm{\Gamma }$가 $\kappa$ 미만 교집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.

• 임의의 대상 $X\in 𝒞$ 및 $𝒜\subseteq \mathrm{\Gamma }(X)$에 대하여, 만약 $|𝒜|<\kappa$라면 $\bigcap 𝒜\in \mathrm{\Gamma }(X)$이다.

만약 $\mathrm{\Gamma }=\check{\mathrm{\Gamma }}$라면, $\mathrm{\Gamma }$가 여집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.

폴란드 공간의 점류

$(𝒞,F)$가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 $\mathrm{PolTop}$인 경우를 생각하자.

$\mathrm{PolTop}$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$에 대하여, 다음 성질들을 정의하자.

• 임의의 폴란드 공간 $X$ 및 집합렬 $A_0,A_1,\dots \subseteq X$에 대하여, $A\in X\times \mathbb{N}⟺\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}:A_i\in \mathrm{\Gamma }(X)$이라면, $\mathrm{\Gamma }$가 합리적 점류(合理的點類, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp (여기서 $\mathbb{N}$은 자연수 집합으로 여긴 가산 무한 이산 공간이다.)

$\mathrm{PolTop}$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$ 및 기수 $\kappa$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\mathrm{\Gamma }$가 $\kappa$-분리 성질(틀:Llang)을 만족시킨다고 한다.틀:Rp

임의의 폴란드 공간 $X$ 및 임의의 집합족 $\{A_i{\}}_{i\in I}\subseteq \mathrm{\Gamma }(X)$에 대하여, 만약 $|I|<\kappa$이며 $\bigcap _{i\in I}{A}_i=\varnothing$이라면, $\mathrm{\forall }i\in I:A_i\subseteq B_n$이자 $\bigcap _{i\in I}{B}_i=\varnothing$인 $B_0,B_1,\dots \in \mathrm{\Gamma }(X)\cap \check{\mathrm{\Gamma }}(X)$가 존재한다.

$\mathrm{PolTop}$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$ 및 기수 $\kappa$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\kappa$-축소 성질(틀:Llang)을 만족시킨다고 한다.틀:Rp

임의의 폴란드 공간 $X$ 및 임의의 집합족 $\{A_i{\}}_{i\in I}\subseteq \mathrm{\Gamma }(X)$에 대하여, 만약 $|I|<\kappa$이라면, 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 $\{B_i{\}}_{i\in I}\subseteq \mathrm{\Gamma }(X)$가 존재한다.

• $\mathrm{\forall }i\in I:B_i\subseteq A_n$
• $\mathrm{\forall }i,j\in I:i\ne j⟹B_i\cap B_j=\varnothing$
• $\bigcup _{i\in I}{A}_i=\bigcup _{i\in I}{B}_i$

$\mathrm{PolTop}$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$가 만약 가산 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 축소 성질을 갖는다면, $\check{\mathrm{\Gamma }}$는 가산 분리 성질을 갖는다.

균등화 성질

집합 $R$ (푸른색)의 균등화 $f$ (붉은색)

집합 $X$, $Y$ 및 부분 집합 $R\subseteq X\times Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $R$의 균등화 집합(틀:Llang) $S\subseteq R$은 다음 조건들을 만족시키는 집합이다.

• 임의의 $(x,y)\in R$에 대하여, $(x,y^{\prime })\in S$인 $y^{\prime }\in Y$가 유일하게 존재한다.

폴란드 공간 $Y$가 주어졌을 때, $\mathrm{PolTop}$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$가 다음 조건을 만족시킨다면, $Y$-균등화 성질($Y$-均等化性質, 틀:Llang)을 만족시킨다고 한다.

임의의 폴란드 공간 $X$과 부분 집합 $R\in \mathrm{\Gamma }(X\times Y)$에 대하여, $R$의 균등화 $S\in \mathrm{\Gamma }(X\times Y)$가 존재한다.

모든 폴란드 공간 $Y$에 대하여 $Y$-균등화 성질을 만족시키는 점류의 경우, 균등화 성질을 만족시킨다고 한다.

그렇다면, $\mathrm{PolTop}$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 합리적이며, 가산 분리 성질을 갖는다.
• 합리적이며, $\mathbb{N}$-균등화 성질을 갖는다. ($\mathbb{N}$은 가산 무한 이산 공간이다.)

계급 점류

구체적 범주 $𝒞$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$와 폴란드 공간 $X$ 및 그 부분 집합 $A\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 $\varphi :A\to \mathrm{Ord}$에 대하여, 만약 다음 세 조건을 모두 만족시키는, $X$ 위의 두 이항 관계 $\underset{\varphi }{\overset{\mathrm{\Gamma }}{\le }}$, $\underset{\varphi }{\overset{\check{\mathrm{\Gamma }}}{\le }}$가 존재한다면, $\varphi$가 $A$ 위의 $\mathrm{\Gamma }$-계급 함수($\mathrm{\Gamma }$-階級函數, 틀:Llang)라고 한다.

• $\underset{\varphi }{\overset{\mathrm{\Gamma }}{\le }}\in \mathrm{\Gamma }(X^2)$
• $\underset{\varphi }{\overset{\check{\mathrm{\Gamma }}}{\le }}\in \check{\mathrm{\Gamma }}(X^2)$
• 임의의 $a\in A$ 및 $x\in X$에 대하여, $(x\in A\wedge \varphi (x)\le \varphi (a))⟺x\underset{\varphi }{\overset{\mathrm{\Gamma }}{\le }}a⟺x\underset{\varphi }{\overset{\check{\mathrm{\Gamma }}}{\le }}a$이다.

$\mathrm{PolTop}$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$가 다음 조건을 만족시킨다면, 계급 점류(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp

임의의 폴란드 공간 $X$ 및 $A\in \mathrm{\Gamma }(X)$에 대하여, $\mathrm{\Gamma }$-계급 함수가 존재한다.

계급 점류 $\mathrm{\Gamma }$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• 모든 열린닫힌집합들을 포함한다. 즉, ${\mathrm{\Delta }}_1^0\subseteq \mathrm{\Gamma }$이다.
• 가산 교집합과 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.

그렇다면, $\mathrm{\Gamma }$는 가산 축소 성질과 $\mathbb{N}$-균등화 성질과 가산 분리 성질을 만족시킨다.

눈금

폴란드 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$ 위의 계급 함수의 열 $({\varphi }_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$이 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금(틀:Llang)이라고 한다.

$A$ 속의 임의의 점렬 $(a_i{)}_{i<\omega }\subseteq A$에 대하여, 만약

• $(a_i{)}_{i<\omega }$는 $X$ 속에서 $x\in X$로 수렴하며,
• $\mathrm{\forall }i\ge N:{\varphi }_n(a_i)={\lambda }_n$이 되는 $N_n<\omega$와 ${\lambda }_n\in \mathrm{Ord}$가 존재한다면,

$x\in A$이자 $\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}:{\varphi }_i(x)\le {\lambda }_i$이다.

$\mathrm{PolTop}$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$ 및 폴란드 공간 $X$ 및 그 부분 집합 $A\subseteq X$ 및 $A$ 위의 눈금 $({\varphi }_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$에 대하여, 만약 모든 $i\in \mathbb{N}$에 대하여 ${\varphi }_i:A\to \mathrm{Ord}$가 $\mathrm{\Gamma }$-계급 함수라면, $({\varphi }_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$를 $\mathrm{\Gamma }$-눈금이라고 한다.

$\mathrm{PolTop}$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$가 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금 점류(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp

임의의 $A\in \mathrm{\Gamma }$에 대하여, $A$ 위의 $\mathrm{\Gamma }$-눈금이 존재한다.

눈금 점류는 항상 계급 점류이다.

$\mathrm{stdBorelMeasbl}$ 위의 눈금 점류 $\mathrm{\Gamma }$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, ${\mathrm{\Delta }}_1^1\subseteq \mathrm{\Gamma }$이다.
• 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
• 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
• (쌍대 사영에 대핟 닫힘) 임의의 $A\in \mathrm{\Gamma }(X\times Y)$에 대하여, ${\mathrm{\forall }}^Y(A)=\{x\in X:\{x\}\times Y\subseteq A\}\in \mathrm{\Gamma }(X)$이다.

그렇다면, $\mathrm{\Gamma }$는 균등화 성질을 갖는다.

즉, 만약 폴란드 공간의 점류 $\mathrm{\Gamma }$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, ${\mathrm{\Delta }}_1^1\subseteq \mathrm{\Gamma }$이다.
• 보렐 가측 함수의 원상에 대하여 닫혀 있다.
• 가산 합집합과 가산 교집합 및 쌍대 사영에 대하여 닫혀 있다.
• 합리적 점류이다.

그렇다면, 다음 함의 관계가 존재한다.

눈금 점류	⇒	계급 점류	⇒	가산 축소 점류	⇒	가산 분리 점류의 쌍대 점류
⇓				⇳
균등화 점류	⇒			$\mathbb{N}$-균등화 점류

주기성 정리

$\mathrm{stdBorelMeasbl}$ 위의 점류 $\mathrm{\Gamma }$가 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.

• 모든 보렐 집합을 포함한다.
• 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
• 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다.
• 사영에 대하여 닫혀 있다.
• 임의의 $S\in \mathrm{\Gamma }({\mathbb{N}}^{{\mathrm{\aleph }}_0})\cap \check{\mathrm{\Gamma }}({\mathbb{N}}^{{\mathrm{\aleph }}_0})$에 대하여, $S$는 결정 집합이다.
• 눈금 점류이다.

그렇다면, 주기성 정리(틀:Llang)에 따르면, ${\mathrm{\forall }}^{{\mathbb{N}}^{{\mathrm{\aleph }}_0}}\mathrm{\Gamma }$ 역시 눈금 점류이다.틀:Rp

특히, 사영 위계의 집합들은 결정 집합·눈금 점류 성질을 제외한 나머지를 만족시킨다. ${\mathrm{\Pi }}_1^1$은 눈금 점류이므로, 따라서 만약 사영 결정 공리를 가정할 경우, ${\mathrm{\Pi }}_{2n+1}^1$과 ${\mathrm{\Sigma }}_{2n+2}^1$는 눈금 점류가 된다.

예

보렐 위계의 단계들 ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0$, ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$, ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$은 $\mathrm{PolTop}$ 위의 점류를 이룬다 (즉, 연속 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).

사영 위계의 단계들 ${\mathrm{\Delta }}_n^1$, ${\mathrm{\Sigma }}_n^1$, ${\mathrm{\Pi }}_n^1$은 $\mathrm{PolTop}$ 위의 점류를 이루며, 또한 $\mathrm{stdBorelMeasbl}$ 위의 점류를 이룬다 (즉, 보렐 가측 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).