리우빌 수

틀:위키데이터 속성 추적 수론에서 리우빌 수(틀:Llang)는 충분히 빠르게 수렴하는 유리수 수열로 근사할 수 있는 초월수이다.

정의

무리성 측도

무리수 $x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$의 무리성 측도(틀:Llang)는 다음과 같다.

$\mu (x)=\inf \{n\in {ℝ}^{+}:\left|\{(p,q)\in {\mathbb{Z}}^2:|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}\}\right|<{\mathrm{\aleph }}_0\}$

리우빌 수

무리수 $x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $x$를 리우빌 수라고 한다.

• $\mu (x)=\mathrm{\infty }$. 즉, 임의의 양의 실수 $n\in {ℝ}^{+}$에 대하여, $|x-p/q|<1/q^n$인 두 정수 $p,q\in \mathbb{Z}$가 무한히 많이 존재한다.
• 임의의 양의 정수 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, $|x-p/q|<1/q^n$이며 $q\ge 2$인 두 정수 $p,q\in \mathbb{Z}$가 존재한다.

성질

초월성

임의의 무리수 $x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$에 대하여, $\mu (x)\ge 2$가 성립한다. 만약 $x$가 대수적 무리수(즉, 2차 이상의 대수적 실수)일 경우, $\mu (x)=2$이다. 특히, 모든 리우빌 수는 초월수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 초월수는 리우빌 수가 아닐 수 있으며, 무리성 측도가 2일 수도 있다.

모든 리우빌 수가 초월수임은 리우빌 정리(틀:Llang)를 사용하여 보일 수 있다. 리우빌 정리에 따르면, 임의의 $n\ge 2$차 대수적 무리수 $x$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 $M\in {\mathbb{Z}}^{+}$가 존재한다.

• 임의의 정수 $p\in \mathbb{Z}$ 및 양의 정수 $q\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, $|x-p/q|>1/(M{q}^n)$

틀:증명 정리의 조건에 따라 $f(x)=0$인 $n$차 유리수 계수 기약 다항식 $f\in \mathbb{Q}[t]$이 존재한다.

$M\ge \underset{y\in [x-1,x+1]}{\sup }|f^{\prime }(y)|$

인 양의 정수 $M\in {\mathbb{Z}}^{+}$를 취하자. 임의의 정수 $p\in \mathbb{Z}$ 및 양의 정수 $q\in {\mathbb{Z}}^{+}$가 주어졌다고 하자. 만약 $|x-p/q|>1$이라면,

$|x-\frac{p}{q}|>1\ge \frac{1}{M{q}^n}$

이다. 만약 $|x-p/q|\le 1$이라면, 부등호는 $f$는 유리근을 갖지 않으므로 $q^n|f(p/q)|$는 양의 정수이다. 평균값 정리에 따라

$M{q}^n|x-\frac{p}{q}|\ge q^n|f\left(\frac{p}{q}\right)-f(x)|=q^n\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|\ge 1$

이다.

이제, 귀류법을 사용하여, 리우빌 수 $x$가 $n\ge 2$차 대수적 무리수라고 하자.

$2^{k-n}>M$

인 양의 정수 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$를 취하자. 리우빌 수의 정의에 따라, 다음을 만족시키는 두 정수 $p,q\in \mathbb{Z}$가 존재한다.

$\frac{1}{q^k}>|x-\frac{p}{q}|>\frac{1}{M{q}^n}$

$q\ge 2$

따라서

$M>q^{k-n}\ge 2^{k-n}>M$

이며, 이는 모순이다. 틀:증명 끝

집합론적 성질

리우빌 수의 집합의 크기는 실수와 같은 $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$이다.

위상수학적 성질

리우빌 수의 집합은 제1 범주 집합의 여집합이며, (실수선 $ℝ$는 베르 공간이므로) 특히 이는 조밀 집합이다.

측도론적 성질

리우빌 수의 집합의 르베그 측도는 0이며, 보다 일반적으로 임의의 차원의 하우스도르프 측도는 0이다.

예

다음은 일부 무리수의 무리성 측도 또는 그 상계들이다.

$\mu (e)=2$

$\mu (\pi )\le 7.103205\cdots$

$\mu ({\pi }^2)\le 5.441243$

$\mu (\pi /\sqrt{3})\le 4.230464\cdots$

$\mu (\zeta (2))=\mu ({\pi }^2/6)\le 5.09541178\cdots$

$\mu (\zeta (3))\le 5.513891$

$\mu (\ln 2)\le 3.8913998$

$\mu (\ln 3)\le 5.125$

$\mu (\arctan (1/3))\le 6.096755\cdots$

여기서 $e$는 자연 로그의 밑, $\pi$는 원주율, $\zeta$는 리만 제타 함수, $\arctan$는 아크탄젠트, $\ln$은 자연 로그이다.

리우빌 상수

리우빌 상수(틀:Llang)

$c=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-n!}=0.1100010000000000000000010\dots$ 틀:OEIS

는 리우빌 수이다. 보다 일반적으로, 임의의 2 이상의 정수 $b\ge 2$ 및 $a_1,a_2,\dots \in \{0,1,\dots ,b-1\}$에 대하여, 만약 $0=a_n=a_{n+1}=\cdots$인 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$가 존재하지 않는다면,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}^{-n!}$

은 리우빌 수이다. 틀:증명 순환 소수가 아니므로 $c$는 무리수이다.

임의의 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여,

$q=10^{n!}$

$p=10^{n!}\sum _{k=1}^{n}10^{-k!}$

를 취하면

$|c-\frac{p}{q}|=\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}10^{-k!}<\frac{1}{q^n}$

이다. 즉, $c$는 리우빌 수이다. 틀:증명 끝

역사

조제프 리우빌의 이름을 땄다.

같이 보기

• 디오판토스 근사

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:수학노트
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Proofwiki
• 틀:Proofwiki