귀납적 차원

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 넘어옴 일반위상수학에서 귀납적 차원(歸納的次元, 틀:Llang)은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 차원 개념이다. 대부분의 경우, 르베그 덮개 차원의 상한과 하한을 정의한다.

정의

위상 공간 $X$의 작은 귀납적 차원(틀:Llang) $\mathrm{ind}X$는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 $n\in \{-1,0,1,2,\dots \}$이다.

• 임의의 $x\in X$ 및 열린 근방 $U\ni x$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 $V\ni x$가 존재한다.
  • $\mathrm{cl}V\subseteq U$
  • $\mathrm{ind}\partial V\le n-1$

위상 공간 $X$의 큰 귀납적 차원(틀:Llang) $\mathrm{Ind}X$는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 $n\in \{-1,0,1,2,\dots \}$이다.

• 임의의 닫힌집합 $C\subseteq X$의 열린 근방 $U\supseteq C$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 $V\supseteq C$가 존재한다.
  • $\mathrm{cl}V\subseteq U$
  • $\mathrm{Ind}\partial V\le n-1$

공집합의 경우, 아무런 점이 없으므로 자명하게 $\mathrm{ind}\varnothing =-1$이다.

성질

서로 다른 차원들의 비교

T1 공간 $X$ 또는 정칙 공간 $X$의 경우, 모든 점의 폐포가 점의 열린 근방에 다시 포함되므로,

$\mathrm{ind}X\le \mathrm{Ind}X$

이다.틀:Rp

임의의 위상 공간 $X$에 대하여,

$\dim X\le \mathrm{Ind}X$

이다.틀:Rp 여기서 $\dim$은 르베그 덮개 차원이다.

거리화 가능 공간 $X$의 경우,

$\mathrm{ind}X\le \dim X=\mathrm{Ind}X$

이다.틀:Rp

린델뢰프 공간 $X$의 경우,

$\dim X\le \mathrm{ind}X$

이다.틀:Rp

린델뢰프 완전 정규 공간 $X$틀:Rp 또는 완비 파라콤팩트(틀:Llang) 완전 정규 공간 $X$틀:Rp의 경우,

$\dim X\le \mathrm{ind}X=\mathrm{Ind}X$

이다.

우리손 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 공간 $X$의 경우

$\mathrm{ind}X=\dim X=\mathrm{Ind}X$

이다.틀:Rp

부분 집합

위상 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여,

$\mathrm{ind}Y\le \mathrm{ind}X$

이다.틀:Rp 만약 추가로 $Y$가 닫힌집합이거나,틀:Rp $X$가 완전 정규 공간이라면,틀:Rp

$\mathrm{Ind}Y\le \mathrm{Ind}X$

이다.

합집합

완비 정규 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y,Z\subseteq X$에 대하여, 만약 $X=Y\cup Z$라면,

$\mathrm{ind}X\le \mathrm{ind}Y+\mathrm{ind}Z+1$

$\mathrm{Ind}X\le \mathrm{Ind}Y+\mathrm{Ind}Z+1$

이다.틀:Rp 이를 작은·큰 귀납적 차원에 대한 우리손 부등식이라고 한다.

위상 공간 $X$ 및 닫힌집합 $Y,Z\subseteq X$에 대하여, 만약 $X=Y\cup Z$라면,

$\mathrm{ind}X\le \max \{\mathrm{ind}Y,\mathrm{ind}Z\}+1$

이다.틀:Rp 만약 추가로 $X$가 정규 공간이라면,

$\mathrm{Ind}X\le \mathrm{Ind}Y+\mathrm{Ind}Z$

이다.틀:Rp

곱공간

제2 가산 정칙 공간 $X,Y$의 경우, 귀납적 차원이 르베그 덮개 차원과 일치하므로

$\mathrm{ind}(X\times Y)\le \mathrm{ind}(X)+\mathrm{ind}(Y)$

$\mathrm{Ind}(X\times Y)\le \mathrm{Ind}(X)+\mathrm{Ind}(Y)$

이다.

위상 공간 $X,Y$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• 임의의 닫힌집합 $A,B\subseteq X$에 대하여, $\mathrm{ind}(A\cup B)\le \max \{\mathrm{ind}A,\mathrm{ind}B\}$
• 임의의 닫힌집합 $A,B\subseteq Y$에 대하여, $\mathrm{ind}(A\cup B)\le \max \{\mathrm{ind}A,\mathrm{ind}B\}$

그렇다면,

$\mathrm{ind}(X\times Y)\le \mathrm{ind}X+\mathrm{ind}Y$

이다.틀:Rp 작은 귀납적 차원이 0 이하인 공간은 위 합집합 조건을 자명하게 만족시킨다. 그러나, 1차원 이상의 공간이 위 조건을 만족하기는 매우 ‘어렵다’. 예를 들어, 위 조건을 만족시키지 않는 거리화 가능 공간이 존재하며,틀:Rp 위 조건을 만족시키지 않는 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.틀:Rp

위상 공간 $X,Y$에 대하여, 만약 $\mathrm{ind}X=0$이라면,

$\mathrm{ind}(X\times Y)=\mathrm{ind}Y$

이다.틀:Rp

콤팩트 하우스도르프 공간 $X,Y$에 대하여, 만약 $\mathrm{Ind}X=0$이라면,

$\mathrm{Ind}(X\times Y)\le \mathrm{Ind}Y$

이다.

위상 공간들의 집합 $\{X_i{\}}_{i\in I}$ 및 곱공간

$X=\prod _{i\in I}{X}_i$

에 대하여, 만약 모든 $i\in I$에 대하여 $\mathrm{ind}{X}_i=0$이라면, $\mathrm{ind}X=0$이다.틀:Rp

스톤-체흐 콤팩트화

정규 하우스도르프 공간 $X$ 및 그 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta X$에 대하여,

$\mathrm{Ind}X=\mathrm{Ind}\beta X$

이다.틀:Rp

0차원

경계가 공집합일 필요충분조건은 열린닫힌집합인 것이다. 따라서, 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\mathrm{ind}X=0$
• $X$는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 갖는다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $\dim X=0$
• $\mathrm{Ind}X=0$

위상 공간 $X$에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.

• 만약 $\mathrm{ind}X=0$이라면, $X$는 완비 정칙 공간이다.
• 만약 $\mathrm{ind}X=0$이며, $X$가 콜모고로프 공간이라면, $X$는 완전 분리 공간이자 티호노프 공간이다.
• 반대로, 만약 $X$가 완전 분리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, $\mathrm{ind}X=0$이다.틀:Rp
• 만약 $\dim X=0$이라면, $X$는 정규 공간이다.
• 만약 $\dim X=0$이며, $X$가 T1 공간이거나 정칙 공간이라면, $\mathrm{ind}X=0$이다.
• 반대로, 만약 $\mathrm{ind}X=0$이며, $X$가 린델뢰프 공간 $X$이라면, $\dim X=0$이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $\mathrm{ind}X=0$
• 완전 분리 공간이다.

국소 콤팩트 파라콤팩트 하우스도르프 공간 $X$이 주어졌을 때, $X$는 항상 서로소 린델뢰프 열린닫힌집합들의 합집합이다. 따라서, $X$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 완전 분리 공간이다.
• $\mathrm{ind}X=0$
• $\dim X=0$

작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 0차원 공간(零次元空間, 틀:Llang)이라고 한다. 르베그 덮개 차원이 0인 위상 공간은 흔히 강한 0차원 공간(强-零次元空間, 틀:Llang)이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 T1 조건을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 티호노프 조건을 추가한다.

매장

T1 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp틀:Rp

• $\mathrm{ind}X=0$
• 두 점 이산 공간의 곱공간 $\{0,1{\}}^{\mathrm{Clopen}(X)}$의 부분 집합과 위상 동형이다. (여기서 $\mathrm{Clopen}(X)$는 열린닫힌집합들의 집합이다.)

이 경우, 곱공간으로의 매장은 다음과 같이 잡을 수 있다.

$\mu :X\to \{0,1{\}}^{\mathrm{Clopen}(X)}$

$\mu (x{)}_U=\{\begin{array}{cc}1& x\in U\\ 0& x\in ̸U\end{array}$

모든 0차원 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 실수들의 집합과 위상 동형이다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간(=분해 가능 거리화 가능 공간) $X$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $\mathrm{ind}X=0$
• $X$는 칸토어 집합 $C\cong \{0,1{\}}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$의 부분 집합과 위상 동형이다.
• $X$는 무리수 집합 $ℝ\setminus \mathbb{Q}\cong {\mathbb{N}}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$의 부분 집합과 위상 동형이다.

실수들의 집합 $X\subseteq ℝ$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\mathrm{ind}X=0$
• (둘 이상의 점을 갖는) 구간을 포함하지 않는다.

뇌벨링-폰트랴긴 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\mathrm{ind}X<\mathrm{\infty }$
• $X$는 유클리드 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.

사실, 모든 $n$차원 이하의 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 $(2n+1)$차원 유클리드 공간 ${ℝ}^{2n+1}$에 매장할 수 있다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $\mathrm{ind}X\le n$
• $X$는 $\{x\in {ℝ}^{2n+1}:|\{i:x_i\in \mathbb{Q}\}|\le n\}$의 부분 집합과 위상 동형이다.

예

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 동치이다.

• $\mathrm{ind}X=-1$
• $\dim X=-1$
• $\mathrm{Ind}X=-1$
• $X=\varnothing$

유클리드 공간, 단체, 초구의 작은·큰 귀납적 차원은 통상적인 차원과 일치한다.

$\mathrm{ind}{ℝ}^n=\dim {ℝ}^n=\mathrm{Ind}{ℝ}^n=n$

$\mathrm{ind}{\mathrm{\Delta }}_n=\dim {\mathrm{\Delta }}_n=\mathrm{Ind}{\mathrm{\Delta }}_n=n$

$\mathrm{ind}{𝕊}^n=\dim {𝕊}^n=\mathrm{Ind}{𝕊}^n=n$

보다 일반적으로, 임의의 $n$차원 다양체의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 $n$이다.

$[0,1{]}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$의 작은·큰 귀납적 차원은 $\mathrm{\infty }$이다.

$\mathrm{ind}[0,1{]}^{{\mathrm{\aleph }}_0}=\dim [0,1{]}^{{\mathrm{\aleph }}_0}=\mathrm{Ind}[0,1{]}^{{\mathrm{\aleph }}_0}=\mathrm{\infty }$

조르겐프라이 직선 $S$ 및 조르겐프라이 평면 $S\times S$의 작은·큰 귀납적 차원은 0이다.틀:Rp 조르겐프라이 직선의 르베그 덮개 차원은 0이지만, 조르겐프라이 평면의 르베그 덮개 차원은 무한하다.틀:Rp

$\mathrm{ind}S=\dim S=\mathrm{Ind}S=\mathrm{ind}S\times S=\mathrm{Ind}S\times S=0$

$\dim S\times S=\mathrm{\infty }$

이산 공간과 모든 비이산 공간의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 0 이하이다. 시에르핀스키 공간의 르베그 덮개 차원과 큰 귀납적 차원은 0이지만, (정칙 공간이 아니므로) 작은 귀납적 차원은 무한하다.

거리화 가능 공간 $X$에 대하여, 만약

$|X|<2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

라면, $\mathrm{ind}X=0$이다. 틀:증명 임의의 점 $x\in X$ 및 열린 근방 $U\ni x$가 주어졌다고 하자.

$\mathrm{ball}(x,r)\subseteq U$

인 $r>0$을 잡자. $|X|<2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$이므로,

$d(x,y)\ne s\mathrm{\forall }y\in X$

인 $0<s<r$이 존재한다. 따라서,

$\partial \mathrm{ball}(x,s)=\{y\in X:d(x,y)=s\}=\varnothing$

이다. 틀:증명 끝

순서 위상을 가한 전순서 집합 $(X,\le )$의 작은 귀납적 차원은 1 이하이다.틀:Rp

$\mathrm{ind}X\le 1$

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom

같이 보기

• 르베그 덮개 차원