Z변환

틀:위키데이터 속성 추적 Z 변환(Z-transform)은 수학이나 신호 처리에서 실 수열 또는 복소 수열로 나타나는 시간 영역의 신호를 복소 주파수 영역의 표현으로 변환한다.

Z 변환은 연속 시간 신호에 대한 라플라스 변환에 대응하는 이산 시간 영역에서의 변환으로 볼 수 있다.

역사

Z 변환에 대한 기본적인 생각은 라플라스도 알고 있었고, 1947년에 W. Hurewicz에 의해 선형 상수 계수 차분 방정식을 푸는 유용한 수단으로 다시 알려졌다. Z 변환이라는 이름은 1952년에 콜롬비아 대학의 sampled-data control group에 속한 Ragazzini와 Zadeh로부터 유래되었다.

고등 Z 변환은 후에 Jury에 의해 개발되고 대중화되었다.

정의

다른 적분 변환들과 마찬가지로 Z 변환은 단방향 또는 양방향 변환으로 정의될 수 있다.

양방향 Z 변환

연속시간 신호 $x[n]$의 양방향 Z 변환은 $X(z)$로 표현되는 formal power series로, 다음과 같이 정의된다.

$X(z)=𝒵\{x[n]\}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}.$

여기서 $n$은 정수이고 $z$는 일반적으로 복소수이다. 즉, $z$는 복소수의 크기 $A$와 허수 단위 $j$, 그리고 편각 $\varphi$를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

$z=A{e}^{j\varphi }=A(\cos \varphi +j\sin \varphi )$

단방향 Z 변환

만약 $x[n]$이 $n\ge 0$에 대해서만 정의되어 있다면 단방향 Z 변환은 다음과 같이 정의된다.

$X(z)=𝒵\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n]z^{-n}.$

이러한 정의는 신호 처리에서 이산 시간 causal system의 단위 펄스 응답의 Z 변환을 구하는데 사용될 수 있다. 여기서부터는 별도의 언급이 없는 한 단방향 Z 변환을 고려하기로 한다.

예제

• 단위 계단 신호

다음과 같은 신호를 생각해 보자.

$x[n]=1,n=0,1,2,\dots .$

그러면 $x[n]$의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

$X(z)=1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots =\frac{z}{z-1},1<|z|.$

• 등비수열

다음과 같은 신호를 생각해 보자.

$x[n]=a^n,n=0,1,2,\dots .$

그러면 $x[n]$의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

$X(z)=1+(z/a{)}^{-1}+(z/a{)}^{-2}+\cdots =\frac{z}{z-a},a<|z|.$

성질

선형성 (Linearity)

두 이산 시간 신호 $x_1[n]$, $x_2[n]$의 Z 변환을 각각 $X_1(z)$, $X_2(z)$라 두면, 상수 $a_1$, $a_2$에 대해 $x[n]=a_1{x}_1[n]+a_2{x}_2[n]$의 Z 변환은 다음과 같다

$\begin{array}{cc}X(z)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(a_1{x}_1[n]+a_2{x}_2[n])z^{-n}\\ & =a_1\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1[n]z^{-n}+a_2\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_2[n]z^{-n}\\ & =a_1{X}_1(z)+a_2{X}_2(z).\end{array}$

시간에 대한 평행 이동 (Time shifting)

양방향 Z 변환의 경우

이산 시간 신호 $x[n]$의 Z 변환을 $Z\{x[n]\}$라 두면 정수 $k$에 대해 $x[n-k]$의 Z 변환은 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}𝒵\{x[n-k]\}& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-k]z^{-n}\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[m]z^{-(m+k)},m=n-k\\ & =\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[m]z^{-m}{z}^{-k}\\ & =z^{-k}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[m]z^{-m}\\ & =z^{-k}X(z).\end{array}$

단방향 Z 변환의 경우

단방향 Z 변환의 경우 조금 다르다. 만약 $k\ge 1$인 경우

$\begin{array}{cc}𝒵\{x[n-k]\}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n-k]z^{-n}\\ & =\sum _{m=-k}^{\mathrm{\infty }}x[m]z^{-(m+k)},m=n-k\\ & =\sum _{m=-k}^{\mathrm{\infty }}x[m]z^{-m}{z}^{-k}\\ & =\sum _{m=-k}^{-1}x[m]z^{-m}{z}^{-k}+z^{-k}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}x[m]z^{-m}\\ & =\sum _{m=-k}^{-1}x[m]z^{-(m+k)}+z^{-k}X(z),\end{array}$

$k\le -1$인 경우

$\begin{array}{cc}𝒵\{x[n-k]\}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x[n-k]z^{-n}\\ & =\sum _{m=-k}^{\mathrm{\infty }}x[m]z^{-(m+k)},m=n-k\\ & =\sum _{m=-k}^{\mathrm{\infty }}x[m]z^{-m}{z}^{-k}\\ & =-\sum _{m=0}^{-k-1}x[m]z^{-m}{z}^{-k}+z^{-k}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}x[m]z^{-m}\\ & =-\sum _{m=0}^{-k-1}x[m]z^{-(m+k)}+z^{-k}X(z).\end{array}$

Z 역변환

Z 역변환은 다음과 같이 구해진다.

$x[n]={𝒵}^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz,$

여기서 $C$는 원점을 반시계방향으로 둘러 싸면서 수렴 반경 안에 있는 닫힌 경로이다.

하지만 라플라스 역변환의 경우와 유사하게 대부분의 경우 Z 역변환은 부분분수 분해를 통해 구해진다. 예를 들어 다음과 같은 Z 변환을 생각하자.

$X(z)=\frac{3z^2-7z}{z^2-5z+6}.$

부분분수 분해를 통해 $X(z)/z$는 다음과 같이 표현된다.

$\frac{X(z)}{z}=\frac{1}{z-2}+\frac{2}{z-3}.$

따라서, $X(z)=z/(z-2)+2z/(z-3)$이고 Z 변환의 선형성으로부터 $x[n]$은 다음과 같이 구해진다.

$x[n]=2^n+2\cdot 3^n,n=0,1,\dots .$

응용

차분방정식의 풀이

다음과 같이 주어진 상수 계수를 갖는 선형 차분방정식을 생각하자.

$x[n-2]-5x[n-1]+6x[n]=0,x[-1]=1,x[-2]=0.$

양변에 Z 변환을 취하면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{cc}& z^{-2}X(z)+x[-2]+z^{-1}x[-1]-5z^{-1}X(z)-5x[-1]+6X(z)=0,\\ & \frac{X(z)}{z}=\frac{5z-1}{(3z-1)(2z-1)},\\ & X(z)=-\frac{2}{3}\frac{z}{z-\frac{1}{3}}+\frac{3}{2}\frac{z}{z-\frac{1}{2}}.\end{array}$

따라서, $x[n]=-\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+\frac{3}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$이다.

같이 보기

• 라플라스 변환
• 푸리에 변환
• 이산 시간 푸리에 변환
• 이산 푸리에 변환

1. Kamen, E.; Heck, B. (2000), Fundamentals of Signals and Systems: With MATLAB Examples (2nd ed.); Prentice Hall; 틀:ISBN, 9780130172938.
2. Ingle, V. K.; Proakis, J. G. (2007), Digital Signal Processing Using Matlab (2nd ed., Int. Stud. Ed.); Thomson.
3. Nekoogar, F. and Moriarty, G. (1999), Digital control using digital signal processing; Prentice Hall.