부분분수

틀:위키데이터 속성 추적 대수학에서 부분분수분해(Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개(partial fraction expansion)는 유리식의 분자나 분모의 차수를 낮추는 데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수 계수의 다항식들은 유클리드 정역이므로 유클리드 호제법을 이용할 수 있다.

예

틀:참고 부분분수로 변형하는 계산은 다양한 계산에서 등장한다. 기교를 잘 익혀두면 쓸모가 많다.

가분수를 대분수로 변형

분자의 차수가 분모보다 높을 경우 초등학교의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수

$\frac{f(x)}{g(x)}$

가 주어졌는데, 분자의 차수가 분모의 차수보다 높아서 $f(x)=g(x)Q(x)+R(x)$와 같이 나눗셈으로 표현가능하다면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있다.

$Q(x)+\frac{R(x)}{g(x)}$

다항식의 나눗셈에 의해 당연히 $R(x)$는 $g(x)$보다 차수가 낮다.

분자의 차수가 낮은 경우

분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러 가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉, 다음과 같이 분해된다.

$\frac{f(x)}{(a_{1}x+b_1)(a_{2}x+b_2)\cdots (a_{n}x+b_n)}=\frac{A_1}{a_{1}x+b_1}+\frac{A_2}{a_{2}x+b_2}+\cdots +\frac{A_n}{a_{n}x+b_n}$

여기서 $A_1,....,A_n$는 모두 항등식의 미정계수로서 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 다음과 같은 예를 보자.

$\frac{x+3}{x^2-3x-40}$

위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가 $(x-8)(x+5)$로 일차식의 곱의 형태로 인수분해됨을 알 수 있다. 그리하여 다음과 같이 전개가능하다.

$\frac{x+3}{x^2-3x-40}=\frac{x+3}{(x-8)(x+5)}=\frac{A}{x-8}+\frac{B}{x+5}$

여기서 $A,B$는 정해지지 않은 계수, 즉 미정계수인데, 이는 항등식의 미정계수법을 통해 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는(수치대입법) 방법 등을 동원하면 된다. 그리하여 $A=11/13,B=2/13$임을 확인할 수 있다.

유용한 공식

고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다.

$\frac{1}{A\cdot B}=\frac{1}{B-A}(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})$

좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다. $B-A$가 단순할 때 유용하다. 예를 들어 다음과 같이 분해된다.

$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$

$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{a}{x+1}-\frac{b}{x+2}=\frac{a(x+2)}{(x+1)(x+2)}-\frac{b(x+1)}{(x+2)(x+1)}=\frac{a(x+2)-b(x+1)}{(x+1)(x+2)}$

$\therefore \frac{1}{\cancel{(x+1)(x+2)}}=\frac{a(x+2)-b(x+1)}{\cancel{(x+1)(x+2)}}$

$\therefore 1=a(x+2)-b(x+1)$

$1=ax+2a-bx-b$

$1=(a-b)x+(2a-b)$

우변의$x$차항에대한 좌변의 $x$차항은 없으므로 $x$차항의 계수는 $0$, 상수항은$1$이다.

빼면,

$(a-b)-(2a-b)=0-1$

$a-b-2a+b=-1$

$-a=-1$

$a=1$

이번에는 $(a-b)=0,(2a-b)=1$을 더하면,

$(a-b)+(2a-b)=0+1$

$a-b+2a-b=1$

$3a-2b=1$

$3a-2b=1$에 $a=1$를 대입하면,

$3-2b=1$

$-2b=1-3$

$-2b=-2$

$\frac{2b}{2}=\frac{2}{2}$

$b=1$

$\therefore \frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$

비슷하게, 다음과 같은 공식을 활용할 수 있다.

$\frac{1}{A\cdot B\cdot C}=\frac{1}{C-A}(\frac{1}{A\cdot B}-\frac{1}{B\cdot C})$

분모의 인수분해 되지 않는 다항식

분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다.

$\frac{a{x}^2+bx+c}{(dx+e)(f{x}^2+gx+h)}=\frac{A_1}{dx+e}+\frac{A_{2}x+A_3}{f{x}^2+gx+h}$

예를 들어 다음과 같다.

$\frac{10x^2+12x+20}{x^3-8}$

이 경우 인수분해 공식에 의해 분모가 $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여,

$\frac{10x^2+12x+20}{x^3-8}=\frac{10x^2+12x+20}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+2x+4}$

위와 같이 변형된다. 여기서 $A,B,C$도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 계산해보면 차례로 7,3,4가 나오므로,

$\frac{10x^2+12x+20}{x^3-8}=\frac{7}{x-2}+\frac{3x+4}{x^2+2x+4}$

위와 같은 등식이 성립하게 된다.

분모의 거듭제곱된 항의 포함

분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어,

$\frac{p(x)}{(x+2)(x+3{)}^5}$

와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다.

$\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{(x+3{)}^2}+\frac{D}{(x+3{)}^3}+\frac{E}{(x+3{)}^4}+\frac{F}{(x+3{)}^5}$

이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자.

$\frac{p(x)}{(x+2)(x^2+1{)}^5}$

그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다.

$\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+1{)}^2}+\frac{Fx+G}{(x^2+1{)}^3}+\frac{Hx+I}{(x^2+1{)}^4}+\frac{Jx+K}{(x^2+1{)}^5}$

응용

부분분수로 분해하는 계산은 다양한 곳에서 응용될 수 있다.

계산하기 어려운 값

가장 유명한 예로 다음 주어진 일련의 분수식을 간단히 만드는 데 응용할 수 있다.

$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}$

$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}$

$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}$

적분하기 어려운 함수

다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다.

$\int \frac{2}{x^2-1}dx$

그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다.

$\int \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}dx=\ln |x-1|-\ln |x+1|+C$

물론 $C$는 적분상수(Constant of integration)이다.

무한급수의 일반항

다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자.

$\frac{2-x}{(1-x{)}^2}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$

이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다.

$\frac{2-x}{(1-x{)}^2}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(1-x{)}^2}$

이 때, 다음 등식을 이용한다.

$\frac{1}{(1-x{)}^2}=\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x}=\frac{d}{dx}\sum x^n=\sum (n+1)x^n$

그리하여 다음을 얻는다.

$\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(1-x{)}^2}=\sum x^n+\sum (n+1)x^n=\sum (n+2)x^n$

역 라플라스 변환

역 라플라스 변환(Inverse Laplace transform)이 어려운 미분방정식을 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-3\frac{dy}{dt}+2y=e^{3t};y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$

양변에 라플라스 변환을 취해 다음의 등식이 된다.

$s^{2}Y(s)-s-3[sY(s)-1]+2Y(s)=\frac{1}{s-3}$

그리하여 이를 $Y(s)$에 대해 정리하면 다음 등식이 성립한다.

$\begin{array}{cc}Y(s)& =\frac{1}{(s-3)(s^2-3s+2)}+\frac{s-3}{s^2-3s+2}\\ & =\frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)}+\frac{s-3}{(s-1)(s-2)}\end{array}$

그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다.

$\begin{array}{cc}Y(s)& =\frac{1}{2}\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s-2}+\frac{1}{2}\frac{1}{s-3}+\frac{2}{s-1}-\frac{1}{s-2}\\ & =\frac{5}{2}\frac{1}{s-1}-\frac{2}{s-2}+\frac{1}{2}\frac{1}{s-3}\end{array}$

그리하여 해는 다음과 같이 된다.

$y(t)=\frac{5}{2}{e}^t-2e^{2t}+\frac{1}{2}{e}^{3t}$

같이 보기

• 분수