C-정리

틀:위키데이터 속성 추적 틀:소문자 양자장론에서 c-정리(c-定理, 틀:Llang)는 2차원 양자장론들의 공간 위에서, 양자장론의 자유도의 수를 나타내고, 재규격화군 흐름에 따라서 단조적으로 감소하는 함수 c가 존재한다는 정리다. 이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 재규격화군의 고정점에서, c는 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하가 된다.

정의

2차원 공간 위에서, 복소 좌표 $z=x+iy$를 사용하자. 2차원에서 에너지-운동량 텐서는 대칭성에 의해 세 개의 독립된 성분을 가지는데, 이를 각각

$T_{zz}(z,\overline{z})=T(z,\overline{z})$

${\overline{T}}_{zz}(z,\overline{z})=\overline{T}(z,\overline{z})$

$T_{z\overline{z}}(z,\overline{z})=\mathrm{\Theta }(z,\overline{z})$

로 적자. 등각 장론의 경우 후자는 0이 된다.

양자장론은 일련의 결합 상수 $g^i\in 𝒢$ 및 재규격화 에너지 눈금 $\mathrm{\Lambda }\in {ℝ}^{+}$에 의존하는 국소 라그랑지언 밀도 $ℒ(g,\mathrm{\Lambda },z,\overline{z})$에 의해 정의된다. 양자장론이 재규격화 가능하다는 것은 다음 세 조건들을 의미한다.

• 유동 결합 상수 $\hat{g}:{ℝ}^{+}\to 𝒢$가 존재하여, 모든 $\alpha \in {ℝ}^{+}$에 대하여

$ℒ(\hat{g}(\mu ),\mathrm{\Lambda })=ℒ(\hat{g}(\alpha \mu ),\alpha \mathrm{\Lambda })$

가 성립한다.

• 유동 결합 상수는 자율적 1차 상미분 방정식을 따른다. 즉, 베타 함수 ${\beta }^i\in \mathrm{\Gamma }(T𝒢)$가 존재하여,

$\frac{d\hat{g}(\mu )}{d\ln \mu }={\beta }^i(\hat{g}(\mu ))$

이어야 한다.

• 에너지-운동량 텐서의 대각합 $\mathrm{\Theta }(z,\overline{z})$는 다음과 같다.

$\mathrm{\Theta }(g;z,\overline{z})=\frac{d}{d\ln \mu }ℒ(\hat{g}(g_0,\mu ),\mathrm{\Lambda };z,\overline{z})={\beta }^i\frac{\partial ℒ(g,\mathrm{\Lambda };z,\overline{z})}{\partial g^i}$

c-정리에 따르면, 모든 재규격화 가능한 2차원 양자장론에 대하여 다음과 같은 함수 $c:𝒢\to [0,\mathrm{\infty })$가 존재한다.

• (단조성) $c(\hat{g}(\mu ))$는 $\mu$에 대한 증가함수이다.
• (고정점에서의 등각 대칭) 재규격화군의 고정점 (${\beta }^i$의 영점) $g_0\in 𝒢$에서, 이론은 2차원 비라소로 대수를 대칭으로 가진다. (즉, 단순한 축척 대칭 말고도, 모든 2차원 등각 대칭에 대하여 불변이다.)
• (등각 중심 전하와의 일치) 재규격화군의 고정점 $g_0$에서, $c(g_0)$는 이에 대응하는 2차원 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하 c와 일치한다.

c의 정의

다음과 같은 값들을 정의하자.

$C(g)=2z^4⟨T(z_0,{\overline{z}}_0)T(0)⟩$

$H(g)=z^3\overline{z}⟨T(z_0,{\overline{z}}_0)\mathrm{\Theta }(0,0)⟩$

$G(g)=z^2{\overline{z}}^2⟨\mathrm{\Theta }(z_0,{\overline{z}}_0)\mathrm{\Theta }(0,0)⟩$

이들은 모두 어떤 임의의 주어진 에너지 눈금 ${\mathrm{\Lambda }}_0=\sqrt{z_0{\overline{z}}_0}$에서 정의된다. 정의에 따라 이들은 모두 차원이 0인 로런츠 스칼라이다. 또한,

$G(g)={\beta }^i(g){\beta }^j(g)G_{ij}(g)$

라고 놓으면, $G_{ij}$는 양의 정부호인 대칭 행렬이다. 이 구조에 따라서 $(𝒢,G_{ij})$는 리만 다양체를 이루며, 또한 항상 $G(g)=\beta (g{)}^2\ge 0$이 된다.

그렇다면 $c:𝒢\to ℝ$는 다음과 같다.

$c(g;{\mathrm{\Lambda }}_0)=C(g;{\mathrm{\Lambda }}_0)+4H(g;{\mathrm{\Lambda }}_0)-6G(g;{\mathrm{\Lambda }}_0)$

이 경우, 캘런-쥐만치크 방정식에 따라서

$\frac{d}{d\ln \mu }c(\hat{g}(\mu ))=12G(g)>0$

이 된다.

역사

존 카디는 중심 원소 c가 계의 자유도의 수를 나타내는 것을 보였다. 이후, 알렉산드르 자몰롯치코프가 1986년 〈2차원 장론의 재규격화군의 "비가역성"〉이라는 제목의 논문에서 c-정리를 증명하였다.틀:Rp틀:Rp

고차원에서의 c-정리

c-정리는 2차원의 경우에는 증명되었으나, 아직 고차원에서 성립하는지 알려지지 않았고, 특수한 경우에는 고차원에서의 반례도 발견되었다. 짝수 차원의 시공간에서, 존 카디는 c에 해당하는 값을 정의하였고,, 이는 a라고 불리게 되었다. 카디는 a가 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다는 가설을 세웠다. 이를 a-정리(틀:Llang)라고 한다. 4차원의 경우, a-정리는 1989년에 증명되었다. 비섭동적인 위상적 증명은 2011년에 이루어졌다. 6차원의 경우는 아직 증명되지 않았다.

2010년에는 3차원 등각 장론에 대하여 F라는 값이 정의되었다. 이는 3차원에서 c 또는 a에 대응하는 값으로 추측된다.

2010년에는 홀로그래피 원리를 사용하여, 임의의 차원에서의 c-정리들이 제안되었다. 이는 3차원에서 이미 정의된 F와 일치한다는 사실이 증명되었다.

같이 보기

• 등각 장론

외부 링크

• 틀:웹 인용