ADHM 작도

틀:위키데이터 속성 추적 수리물리학에서 ADHM 작도(ADHM作圖, 틀:Llang)는 선형대수학만을 사용하여 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 순간자들을 작도하는 방법이다.

전개

SO(4)=SU(2)_L×SU(2)_R이다. 편의상 바일 스피너 표기법을 사용하자. 즉, SU(2)_L의 기본 표현 2의 지수는 $\alpha ,\beta ,\dots =1,2$로, SU(2)_R의 기본 표현 2의 지수는 $\dot{\alpha },\dot{\beta },\dots =1,2$로 쓴다. 이렇게 하면, SO(4)의 기본 표현은 4=(2,2)이므로, 4차원 벡터의 지표는 $a\dot{a}$가 된다.

통상적으로,

${\psi }^{\dot{\alpha }}={ϵ}^{\dot{\alpha }\dot{\beta }}{\psi }_{\dot{\beta }}$

${\psi }^{\alpha }={ϵ}^{\alpha \beta }{\psi }_{\beta }$

이다.

ADHM 데이터

SU(N) 양-밀스 이론에서, 순간자수가 $k$인 상태를 작도한다고 하자. 그렇다면 ADHM 작도는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $X_{\mu }\in \mathrm{hom}({ℝ}^k,{ℝ}^k)$. 이는 $X_{\alpha \dot{\alpha }}={\sigma }_{\alpha \dot{\alpha }}^{\mu }{X}_{\mu }$로 적을 수 있다.
• $W_{\dot{\alpha }}\in \mathrm{hom}({ℂ}^N,{ℂ}^k)$. 이는 $k\times N$ 복소 행렬로 나타낼 수 있다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 이를 ADHM 방정식(틀:Llang)이라고 한다.

$W_{\dot{\alpha }}(W_{\dot{\beta }}{)}^{†}=iC{ϵ}_{\dot{\alpha }\dot{\beta }}+i{ϵ}^{\alpha \beta }{X}_{\alpha \dot{\alpha }}(X_{\beta \dot{\beta }}{)}^{†}$

여기서 $C\in 𝔲(k)$는 임의의 $k\times k$ 에르미트 행렬이다.

작도

이 데이터로, 순간자 $A_{\mu }$를 다음과 같이 작도할 수 있다.

시공간 좌표 $x\in {ℝ}^4$는 4차원 벡터이므로,

$x_{\alpha \dot{\alpha }}=x_{\mu }{\sigma }_{\alpha \dot{\alpha }}^{\mu }$

로 적을 수 있다. 여기서 ${\sigma }^{\mu }$는 파울리 행렬이다.

$2k\times (N+2k)$ 복소행렬 $\mathrm{\Delta }$를 다음과 같이 정의하자.

${\mathrm{\Delta }}_{\dot{\alpha }}(x)=W_{\dot{\alpha }}$

${\mathrm{\Delta }}_{\alpha \dot{\alpha }}(x)=X_{\alpha \dot{\alpha }}+x_{\alpha \dot{\alpha }}\otimes I_{k\times k}$

$\mathrm{\Delta }=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Delta }}_{\dot{1}}& {\mathrm{\Delta }}_{1\dot{1}}& {\mathrm{\Delta }}_{2\dot{1}}\\ {\mathrm{\Delta }}_{\dot{2}}& {\mathrm{\Delta }}_{1\dot{2}}& {\mathrm{\Delta }}_{2\dot{2}}\end{array}\right)$

위 조건에 따라서, $2k\times 2k$ 행렬 $\mathrm{\Delta }(x){\mathrm{\Delta }}^{†}(x)$는 다음과 같은 꼴이다.

$\mathrm{\Delta }(x){\mathrm{\Delta }}^{†}(x)=\left(\begin{array}{cc}{F}^{-1}(x)& 0_{k\times k}\\ 0_{k\times k}& F^{-1}(x)\end{array}\right)$

$\mathrm{\Delta }(x)$는 ${ℂ}^{N+2k}$에 작용한다. 거의 모든 $x_{\alpha \dot{\alpha }}$에 대하여, $\ker \mathrm{\Delta }(x)$는 $N$차원이다. 따라서, $\mathrm{\Delta }$의 규칙화 영 모드들을 $(2k+N)\times N$ 행렬 $U(x)$로 적자.

$\mathrm{\Delta }(x)U(x)=0$

$U^{†}(x)U(x)=I_{N\times N}$

그렇다면 순간자 게이지 퍼텐셜 $A_{\mu }$는 다음과 같다.

$A_{\mu }=i{U}^{†}(x)\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}U(x)$

모듈러스 공간의 차원

$X_{\mu }$는 $4k^2$개의 실수 매개변수, $W_{\dot{\alpha }}$는 $4Nk$개의 실수 매개변수를 기여한다. ADHM 방정식은 $3k^2$개의 제약을 가하고, 또한 임의의 $M\in \mathrm{U}(k)$에 대하여

$W_{\dot{\alpha }}\to M{W}_{\dot{\alpha }}$

$X_{\alpha \dot{\alpha }}\mapsto M{X}_{\alpha \dot{\alpha }}{M}^{-1}$

와 같이 회전을 가해도 같은 순간자를 얻으므로, 모듈러스 공간의 차원은 $4Nk$이다.

끈 이론에서의 해석

ADHM 작도는 끈 이론으로 자연스럽게 해석할 수 있다. 이 경우, N개의 겹친 D3-막에 녹아 있는 k개의 D(−1)-막들을 고려한다. 이 경우 D(−1)-막에 존재하는 $𝒩=2$ (16개 초전하) 초대칭 게이지 이론을 고려한다. 이 게이지 이론은 쿨롱 상과 힉스 상 두 가지의 상이 존재한다.

• 쿨롱 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막에서 분리돼 각각 자유롭게 움직인다.
• 힉스 상에서는 D(−1)-막들이 D3-막 속에 녹아, D3-막 위에 존재하는 초대칭 게이지 이론의 순간자를 이룬다.

따라서, 다음과 같은 대응 관계를 얻는다.

기호	ADHM 작도	끈 이론 해석
N	게이지 군 SU(N)의 계수	겹친 D3-막의 수
k	순간자수	D(−1)-막의 수
	ADHM 방정식	D(−1)-막 위에 존재하는 이론의 퍼텐셜의 D-항 및 F-항
$W_{\dot{\alpha }}$		D3-막과 D(−1)-막을 잇는 끈으로 발생하는 스칼라장
$X_{\mu }$		D(−1)-막의 (비가환) 위치
	순간자 모듈러스 공간	D(−1)-막 세계부피 이론의 힉스 가지 모듈러스 공간

역사

마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 발표하였다. 이름은 발견자들의 성의 머릿자를 딴 것이다.

같이 보기

• 트위스터 이론

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용