힐베르트 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 선형 대수학에서 힐베르트(Hilbert , 1894 )에 의해 소개된 힐베르트 행렬(Hilbert matrix)은 엔트리 성분이 단위 분수인 정사각 행렬이다.

H_{i j} = \frac{1}{i + j - 1}

예를 들어, 이것은 5 × 5 힐베르트 매트릭스 행렬이다.

H = (\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{matrix})

힐베르트 행렬은 적분으로부터 유도된 것으로 간주 될 수있다.

H_{i j} = \int_{0}^{1} x^{i + j - 2} d x

특성

힐베르트 행렬은 한켈 행렬의 예이다. 코시 행렬의 특정 예이기도 하다.

또한 힐베르트 행렬은 대칭행렬이다.

\det (H) = \frac{c_{n}^{4}}{c_{2 n}}

c_{n} = \prod_{i = 1}^{n - 1} i^{n - i} = \prod_{i = 1}^{n - 1} i!

힐버트 (Hilbert)는 힐버트 행렬의 행렬식이 정수의 역수라는 흥미로운 사실을 이미 언급했다.^[1]

\frac{1}{\det (H)} = \frac{c_{2 n}}{c_{n}^{4}} = n! \cdot \prod_{i = 1}^{2 n - 1} (\binom{i}{[i / 2]})

또한 동일성에서 팩토리얼에 대한 스털링 근사를 사용하면 다음과 같은 점근선 결과를 얻을 수 있다.

\det (H) = a_{n} n^{- 1 / 4} (2 π)^{n} 4^{- n^{2}}

여기서 a_n 은 상수로 수렴한다.

n \to \infty

일 때

e^{1 / 4} 2^{1 / 12} A^{- 3} \approx 0.6450

과 같다.

힐베르트 행렬의 역함수는 이항 계수를 사용하여 닫힌 형태로 나타낼 수 있다. 이것의 입장이라면,

(H^{- 1})_{i j} = (- 1)^{i + j} (i + j - 1) (\binom{n + i - 1}{n - j}) (\binom{n + j - 1}{n - i}) {(\binom{i + j - 2}{i - 1})}^{2}

여기서 n 은 행렬의 차수이다^[2] 따라서 역행렬의 엔트리는 모두 정수이다.

n -by-H 힐버트 행렬의 조건 수는 다음과 같이 증가한다.

O ((1 + \sqrt{2})^{4 n} / \sqrt{n})