글레이셔-킨켈린 상수

틀:위키데이터 속성 추적 글레이셔-킨켈린 상수 (Glaisher-Kinkelin constant)는 $K$함수와 $G$함수로 관계된다.

$A\approx 1.2824271291\dots$ (OEIS A074962)

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{K(n+1)}{n^{\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}+\frac{1}{12}}{e}^{\frac{-n^2}{4}}}$

• $K$함수(K-function)

$K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}{k}^k$

$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{\frac{1}{k^2}}={\left(\frac{A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}\right)}^{\frac{{\pi }^2}{6}}$

원주율 $\pi ,$ 자연로그의 밑$e,\gamma$오일러-마스케로니 상수

• $G$함수(G-function)

$G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!=\frac{{[\mathrm{\Gamma }(n)]}^{n-1}}{K(n)}$ 여기서 $\mathrm{\Gamma }(n)$는 감마 함수

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}{n}^{\frac{n^2}{2}-\frac{1}{12}}{e}^{\frac{-3n^2}{4}+\frac{1}{12}}}{G(n+1)}$

• 리만 제타 함수와의 상관관계

리만 제타 함수 미분

${\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{12}-\ln A$

$-{\zeta }^{\prime }(2)=\frac{{\pi }^2}{6}[12\ln A-\gamma -\ln (2\pi )]=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln k}{k^2}$

$\frac{1}{2}{\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{24}-\frac{1}{2}\ln A=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\ln x}{e^{2\pi x}-1}dx$

• $e$와 상관된 자연로그의 밑에서의 글레이셔-킨켈린 상수

$\ln A=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(k+1{)}^2\ln (k+1)$

같이 보기

• 수학 상수
• 리만 제타 함수
• 감마 함수
• 프라임 제타 함수