홈플리 다항식

틀:위키데이터 속성 추적 매듭 이론에서 홈플리 다항식(HOMFLY多項式, 틀:Llang)은 유향 연환에 대하여 정의되는 2변수 다항식 불변량이다.^[1]

정의

홈플리 다항식은 모든 유향 연환

K : (𝕊^{1})^{⊔ n} ↪ 𝕊^{3}

에 대하여 정의되는, 두 변수 $α$ , $z$ 에 대한 정수 계수 다항식

P_{K} (α, z) \in ℤ [α, α^{- 1}, z, z^{- 1}]

이며, 다음과 같은 두 조건으로 유일하게 결정된다.

(임의의 방향이 주어진) 자명한 매듭 $◯$ 에 대하여, $P_{◯} (α, z) = 1$
(타래 관계 틀:Llang) 임의의 연환 그림의 한 부분을 국소적으로 수정하여, 다음과 같은 세 연환 $L_{+}$ , $L_{-}$ , $L_{0}$ 를 정의하였다고 하자.

그렇다면, 이들의 홈플리 다항식은 다음과 같은 관계를 갖는다.

α P_{L_{+}} (α, z) - α^{- 1} P_{L_{-}} (α, z) = z P_{L_{0}} (α, z)

존스 다항식과 알렉산더 다항식

홈플리 다항식으로부터, 다음과 같은 두 다항식을 정의할 수 있다.

존스 다항식(틀:Llang): $V_{L} (q) = P_{L} (q^{- 1}, q^{1 / 2} - q^{- 1 / 2})$
알렉산더 다항식(틀:Llang): $Δ_{L} (q) = P_{L} (1, q^{1 / 2} - q^{- 1 / 2})$

성질

홈플리 다항식 $P_{L} (α, z) \in ℤ [α, α^{- 1}, z, z^{- 1}]$ 은 정수 계수 로랑 다항식이다. 또한, 존스 다항식과 알렉산더 다항식

V_{L} (q) = P_{L} (q^{- 1}, q^{1 / 2} - q^{- 1 / 2}) \in ℤ [q^{1 / 2}, q^{- 1 / 2}]

Δ_{L} (q) = P_{L} (1, q^{1 / 2} - q^{- 1 / 2}) \in ℤ [q^{1 / 2}, q^{- 1 / 2}]

은 $q^{1 / 2}$ 에 대한 정수 계수 로랑 다항식이다.

연산과의 호환성

홈플리 다항식은 매듭의 연결합에 대하여 곱셈적이다. 즉, 임의의 두 유향 매듭 $K$ , $K^{'}$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

P_{K # K^{'}} (α, z) = P_{K} (α, z) P_{K^{'}} (α, z)

서로 얽히지 않은 두 성분으로 구성된 연환 $L = L_{1} ⊔ L_{2}$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

P_{L_{1} ⊔ L_{2}} (α, z) = \frac{α - α^{- 1}}{z} P_{L_{1}} (α, z) P_{L_{2}} (α, z)

유향 연환 $L : (𝕊^{1})^{⊔ n} ↪ 𝕊^{3}$ 의 거울 대칭을

\bar{L} = ι \circ L

ι : 𝕊^{3} \to 𝕊^{3}

이라고 할 때, 다음이 성립한다.

P_{\bar{L}} (α, z) = P_{L} (- α^{- 1}, z)

즉, 홈플리 다항식은 거울 대칭 매듭을 구별할 수 있다.

매듭의 홈플리 다항식은 선택한 방향에 의존하지 않는다. 보다 일반적으로, 유향 연환에서, 모든 연결 성분의 방향을 동시에 뒤집으면, 홈플리 다항식은 바뀌지 않는다.

천-사이먼스 이론과의 관계

틀:본문 홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리의 기댓값으로 주어진다.^[2]

구체적으로, 3차원 초구 위의, 준위 $k \in ℕ$ 의 $SU (N)$ 천-사이먼스 이론을 생각하자. 이제, 초구 속의 유향 연환 $L$ 에 대한, $N$ 차원 정의 표현(틀:Llang)에서 취한 윌슨 고리 연산자의 (정규화) 상관 함수는 다음과 같이, 홈플리 다항식으로 주어진다.^[2]틀:Rp

⟨ tr \oint_{L} A ⟩ = \frac{α - α^{- 1}}{z} P_{L} (α, z)

q = \exp \frac{2 π i}{N + k}

z = q^{1 / 2} - q^{- 1 / 2}

α = q^{N / 2}

예

간단한 매듭들의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

매듭	홈플리 다항식
공집합 (0개 연결 성분의 연환)	$z / (α - α^{- 1})$
자명한 매듭 0₁	1
$n$ 개 연결 성분의 자명한 연환	$(α - α^{- 1})^{n - 1} / z^{n - 1}$
세잎매듭 3₁ (왼손)	$2 α^{2} - α^{4} + α z^{2}$
세잎매듭 3₁ (오른손)	$2 α^{- 2} - α^{- 4} + α^{- 2} z^{2}$
8자 모양 매듭 4₁	$- 1 + α^{2} + α^{- 2} - z^{2}$
호프 연환 $2_{1}^{1}$ (연환수 +1)	$- α^{- 3} z^{- 1} + α^{- 1} z + α^{- 1} z^{- 1}$
호프 연환 $2_{1}^{1}$ (연환수 −1)	$α^{3} z^{- 1} - α z - α z^{- 1}$

타래 관계의 예

자명한 연환

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.


$L_{+}$	$L_{-}$	$L_{0}$
자명한 매듭 $0_{1}$	자명한 매듭 $0_{1}$	자명한 연환 $0_{1} ⊔ 0_{1}$

그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

α - α^{- 1} = z P_{0_{1} ⊔ 0_{1}} (α, z)

즉, 2개 성분의 자명한 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

P_{0_{1} ⊔ 0_{1}} (α, z) = \frac{α - α^{- 1}}{z}

호프 연환

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.


$L_{+}$	$L_{-}$	$L_{0}$
호프 연환 $2_{1}^{1}$ (연환수 +1)	자명한 연환 $0_{1} ⊔ 0_{1}$	자명한 매듭 $0_{1}$

그렇다면, 타래 관계는 다음과 같다.

α P_{2_{1}^{1}} (α, z) - α^{- 1} (\frac{α - α^{- 1}}{z}) = z

즉, 호프 연환의 홈플리 다항식은 다음과 같다.

P_{2_{1}^{1}} (α, z) = α^{- 1} z + α^{- 1} z^{- 1} - α^{- 3} z^{- 1}

만약 호프 연환의 두 성분 가운데 하나의 방향을 바꾼다면, 거울 대칭이 되어 $α \mapsto - α^{- 1}$ 가 되며,

P_{2_{1}^{1}} (α, z) = - α z - α z^{- 1} + α^{3} z^{- 1}

를 얻는다.

유향 연환
연환수	+1	−1
홈플리 다항식	$α^{- 1} z + α^{- 1} z^{- 1} - α^{- 3} z^{- 1}$	$- α z - α z^{- 1} + α^{3} z^{- 1}$

세잎매듭

다음과 같은 타래 관계를 생각하자.


$L_{+}$	$L_{-}$	$L_{0}$
세잎매듭 $3_{1}$	자명한 매듭 $0_{1}$	호프 연환 $2_{1}^{1}$ (연환수 +1)

이에 따라 타래 관계는

α P_{3_{1}} (α, z) - α^{- 1} = z (α^{- 1} z + α^{- 1} z^{- 1} - α^{- 3} z^{- 1})

이다. 즉,

P_{3_{1}} (α, z) = 2 α^{- 2} - α^{- 4} + α^{- 2} z^{2}

이다. 물론, 그 거울 대칭을 취하면

P_{3_{1}} (α, z) = 2 α^{2} - α^{4} + α^{2} z^{2}

이다.

매듭
이름	왼손 세잎매듭	오른손 세잎매듭
홈플리 다항식	$2 α^{2} - α^{4} + α^{2} z^{2}$	$2 α^{- 2} - α^{- 4} + α^{- 2} z^{2}$