연환수

틀:위키데이터 속성 추적 위상수학에서 연환수(連環數, 틀:Llang)는 두 폐곡선이 서로를 감는 수이다. 이는 해석적인 방법으로 간단하게 계산할 수 있다.

정의

두 개의 성분으로 구성돼 있는 유향 연환(틀:Llang)을 생각하자. 이 경우, 연환수는 한 폐곡선이 다른 폐곡선을 통과하는, 부호를 가진 정수이다. 그림으로 쉽게 설명할 수 있다.

연환수 −2	연환수 −1	연환수 0
연환수 1	연환수 2	연환수 3

이는 두 개의 성분을 가진 유향 연환의 유일한 위상수학적 불변량이다.

계산 알고리즘

연환의 도표(틀:Llang)가 주어지면, 다음과 같은 알고리즘으로 연환수를 쉽게 계산할 수 있다.

연환 도표에서 위와 같은 교차점들의 수를 각각 $n_1$, $n_2$, $n_3$, $n_4$라고 하자. 그렇다면 연환수 $\nu$는 다음과 같다.

$\nu =n_1-n_4=n_2-n_3$

예를 들어, 다음과 같은 연환을 생각하자.

이 경우

교차점	수
n1	3
n2	3
n3	1
n4	1

이므로 연환수는 $\nu =2$이다.

가우스 적분

연환수는 또한 해석적으로도 계산할 수 있다. 이 공식을 가우스 연환 적분(틀:Llang)이라고 하며, 다음과 같다. 두 폐곡선에 임의의 매개변수를 주어

$𝐮,𝐯:[0,2\pi ]\to {ℝ}^3$

$𝐮(0)=𝐮(2\pi )$

$𝐯(0)=𝐯(2\pi )$

으로 쓰자. 그렇다면 $𝐮(s)$와 $𝐯(t)$의 연환수 $\nu (𝐮,𝐯)$는 다음과 같다.

$\nu (𝐮,𝐯)=\frac{1}{4\pi }{\oint }_{𝐮}{\oint }_{𝐯}\frac{𝐮-𝐯}{\Vert 𝐮-𝐯{\Vert }^3}\cdot (d𝐮\times d𝐯)$

이는 다음과 같이 유도할 수 있다. 폐곡선에 매개변수를 가하면, 다음과 같은 가우스 사상 $\mathrm{\Gamma }:{𝕋}^2\to {𝕊}^2$ 을 정의할 수 있다.

$\mathrm{\Gamma }(s,t)=\frac{𝐮(s)-𝐯(t)}{\Vert 𝐮(s)-𝐯(t)\Vert }$

이는 원환면에서 구면으로 가는 연속함수이며, 그 브라우어르 차수가 연환수와 일치함을 쉽게 확인할 수 있다. 브라우어르 차수는 공역이 몇 번 감기는지를 세는 위상수학적 불변량인데, 이는 해석적으로 쉽게 계산할 수 있다. 즉, 함수를 정의역에 대하여 적분한 뒤, 이를 공역의 넓이로 나누면 된다. 여기서 (단위) 구면의 넓이는 $4\pi$이므로 가우스 연환 적분 공식을 쉽게 유도할 수 있다.

고차원 연환수

고차원에서도 연환수를 정의할 수 있다. $(n_1+n_2+1)$차원 다양체 $M$ 속에 $n_1$차원 부분다양체 $N_1\subset M$과 $n_2$차원 부분다양체 $N_2$가 있다고 하자. 또한, $N_1$, $N_2$의 호몰로지류가 꼬임 부분군에 속한다고 하자. 즉, 양의 정수 $k_1,k_2\in \mathbb{Z}$가 존재해,

$k_1[N_1]=0\in H_{n_1}(M)$

$k_2[N_2]=0\in H_{n_2}(M)$

이라고 하자. 그렇다면 이들 사이의 연환수를 정의할 수 있다. 이 경우, 이는 가우스 적분으로 계산할 수 있다. 가우스 사상

$\mathrm{\Gamma }:N_1\times N_2\to S^{n_1+n_2}$

을 정의하면, 연환수는 가우스 사상의 브라우어르 차수이다.

이는 단순히 두 호몰로지류의 교차수(intersection number)이다. 다음과 같은 사슬 $C_1$, $C_2$를 정의하자.

$\partial C_1=k_1[N_1]$

$\partial C_2=k_2[N_2]$

또한, 푸앵카레 쌍대성을 사용해

$[N_1]=[M]⌢{\alpha }_1$

$[N_2]=[M]⌢{\alpha }_2$

인 코호몰로지류 ${\alpha }_i\in H^{n_i+1}(M;\mathbb{Z})$를 정의할 수 있다. 그렇다면 연환수는

$\nu ([N_1],[N_2])={\frac{k_1}{C}}_1⌢{\alpha }_2=(-1{)}^{(n_1+1)n_2}{\frac{k_2}{C}}_2⌢{\alpha }_1$

이다.

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Eom