호프 불변량

틀:위키데이터 속성 추적 호모토피 이론에서 호프 불변량(Hopf不變量, 틀:Llang)은 특정한 차원의 두 초구 사이의 연속 함수를 분류하는 정수이다.

정의

f : 𝕊^{2 n - 1} \to 𝕊^{n}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $𝕊^{2 n - 1} = \partial 𝔻^{2 n}$ 이므로 이를 사용하여 CW 복합체

𝔻^{2 n} \cup_{f} 𝕊^{n}

를 정의할 수 있다. 이는 1개의 0차원 세포 · 1개의 $n$ 차원 세포 · 1개의 $2 n$ 차원 세포를 갖는다.

$n = 1$ 일 경우, 이러한 함수는 브라우어르 차수에 의하여 완전히 분류된다. 만약 $n \geq 2$ 라면, 세포 코호몰로지를 사용하여 CW 복합체의 코호몰로지를 바로 계산할 수 있다.

H^{k} (𝔻^{2 n} \cup_{f} 𝕊^{n}; ℤ) = {\begin{matrix} ℤ = ⟨ 1 ⟩ & k = 0 \\ ℤ = ⟨ α ⟩ & k = n \\ ℤ = ⟨ β ⟩ & k = 2 n \\ 0 & n \neq 0, n, 2 n \end{matrix}

코호몰로지는 등급환을 이룬다. 이 경우, 코호몰로지류의 합곱은 등급 때문에 다음과 같은 꼴이어야 한다.

α ⌣ β = β ⌣ β = 0

α ⌣ α = h_{f} β (h_{f} \in ℤ)

이 정수 $h_{f} \in ℤ$ 를 $f$ 의 호프 불변량이라고 한다.

이는 초구의 호모토피 군으로부터 무한 순환군으로 가는 군 준동형을 이룬다.

h : π_{2 n - 1} (𝕊^{n}) \to ℤ

상수 함수의 호프 불변량은 0이다.

유리수 호모토피 이론 등에 의하여, 호모토피 군 $π_{2 n - 1} (𝕊^{n})$ 은 유한한 아벨 꼬임 부분군과 무한 순환군의 직합이다. 꼬임 부분군은 물론 호프 불변량 준동형 아래 0으로 대응된다.

호프 불변량 준동형의 치역은 다음과 같다.

h (π_{2 n - 1} (𝕊^{n})) = {\begin{matrix} ℤ & n = 2, 4, 8 \\ 2 ℤ & n \geq 2, n \neq 2, 4, 8 \end{matrix}

즉, $n = 2, 4, 8$ (실수체 위의 노름 나눗셈 대수들의 차원)인 경우, 호프 올뭉치가 존재하여 $h = 1$ 이 가능하며, 그렇지 않은 경우 호프 불변량은 항상 짝수이다.

호프 불변량이 1인 함수를 호프 함수(틀:Llang)라고 한다. 이들은 구체적으로 다음과 같다. 우선 $K \in {ℂ, ℍ, 𝕆}$ 가 실수체 위의 노름 나눗셈 대수 (복소수체, 사원수 대수, 팔원수 대수 가운데 하나)라고 하자. 그렇다면, $K$ 위의 사영 직선

ℙ_{K}^{1} = \frac{K^{2}}{(a, b) \sim (c a, c b)} = K ⊔ {\hat{\infty}} ≅ 𝕊^{\dim_{ℝ} K}

및 $K^{2}$ 속의 단위 노름 초구

𝕊 (K^{2}) = {(a, b) \in K^{2} : | a |^{2} + | b |^{2} = 1} ≅ 𝕊^{2 \dim_{ℝ} K - 1}

를 정의할 수 있다. 그렇다면,

𝕊 (K^{2}) \to ℙ_{K}^{1}

(a, b) \mapsto [a : b] \in ℙ_{K}^{1}

는 호프 함수를 이룬다.

호프 불변량의 개념은 하인츠 호프가 호프 올뭉치를 연구하는 과정에 1935년에 발견하였다.^[1]

1960년에 존 프랭크 애덤스는 호프 불변량이 1인 경우는 2, 4, 8차원 호프 올뭉치 밖에 없다는 것을 보였다.^[2]^[3] 이후 1966년에 애덤스와 마이클 아티야는 이를 위상 K이론을 사용하여 재증명하였다.^[4]