헨젤 환

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서 헨젤 환(Hensel環, 틀:Llang)은 잉여류체에서의 다항식의 근이 환에서의 근으로 항상 올려질 수 있는 가환환이다.

정의

국소 가환환 $(R,𝔪,\kappa )$이 주어졌다고 하자. (여기서 $𝔪$은 $R$의 유일한 극대 아이디얼이며, $\kappa =R/𝔪$은 그 잉여류체이다.) 그렇다면, 몫 사상 $R\to \kappa$으로 유도되는, 다항식환 사이의 환 준동형

$\varphi :R[x]\to \kappa [x]$

이 존재한다.

임의의 일계수 다항식 $p\in R[x]$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $\varphi (p)\in \kappa [x]$ 역시 일계수 다항식이다. 체 계수의 다항식환은 유일 인수 분해 정역이므로, $\varphi (p)$는 다음과 같이 일계수 기약 다항식들의 곱으로 (순서를 무시하면 유일하게) 표현된다.

$\varphi (p)={\tilde{q}}_1{\tilde{q}}_2\cdots {\tilde{q}}_k$

${\tilde{q}}_1,{\tilde{q}}_2,\dots ,{\tilde{q}}_k\in \kappa [x]$

(반면, 일반적 국소 가환환 위의 다항식환은 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니다.)

이제, 이 인수 분해가 $R[x]$에서 유래하는지, 즉

$\varphi (q_i)={\tilde{q}}_i(i\in \{1,\dots ,k\})$

$p=q_1{q}_2\cdots q_k$

가 되는 $(q_i{)}_{i\in \{1,\dots ,k\}}$가 존재하는지 여부를 생각할 수 있다.

특히, 만약 ${\tilde{q}}_i=(x-{\tilde{a}}_i)$인지 여부를 생각할 수 있다. 이 경우, $q_i=(x-a_i)$라면, $\kappa$ 계수에서 존재하는 근 ${\tilde{a}}_i$가 $R$에서도 존재한다는 것이 된다.

국소 가환환 $(R,𝔪,\kappa )$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 가환환을 헨젤 국소환(Hensel局所環, 틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 일계수 다항식 $p\in R[x]$ 및 $\varphi (p)(\tilde{a})=0$이며 $(\mathrm{d}\varphi (p)/\mathrm{d}x)(\tilde{a})\ne 0$인 $\tilde{a}\in \kappa$에 대하여, $p(a)=0$이자 $\varphi (a)=\tilde{a}$인 $a\in R$가 존재한다.
• 임의의 일계수 다항식 $p\in R[x]$ 및 $\varphi (p)(\tilde{a})=0$이며 $(\mathrm{d}\varphi (p)/\mathrm{d}x)(\tilde{a})\ne 0$인 $\tilde{a}\in \kappa$에 대하여, $p(a)=0$이자 $\varphi (a)=\tilde{a}$인 $a\in R$가 유일하게 존재한다.
• 임의의 일계수 다항식 $p\in R[x]$ 및 $\tilde{q}\tilde{r}=\varphi (p)$인 $\tilde{q},\tilde{r}\in \kappa [x]$에 대하여, 만약 $\underset{\kappa [x]}{\gcd }\{\tilde{q},\tilde{r}\}=1$이라면, $\varphi (q)=\tilde{q}$, $\varphi (r)=\tilde{r}$, $p=qr$인 $q,r\in R[x]$가 존재한다.

순 헨젤 국소환

만약 헨젤 국소환 $(R,𝔪,\kappa )$의 잉여류체 $\kappa$가 스스로의 분해 가능 폐포라면 ($\kappa ={\kappa }^{\mathrm{sep}}$), $R$를 순 헨젤 국소환(純Hensel局所環, 틀:Llang)이라고 한다.

헨젤 환

헨젤 환은 유한 개의 헨젤 국소환들의 직접곱과 동형인 가환환이다.

성질

헨젤 국소환의 범주 $\mathrm{HensLocRing}$는 국소 가환환과 국소환 준동형의 범주 $\mathrm{CLocRing}$의 충만한 부분 범주를 이루며, 이는 또한 반사 부분 범주를 이룬다. 즉, 포함 함자 $\mathrm{HensLocRing}\hookrightarrow \mathrm{CLocRing}$의 왼쪽 수반 함자

$(-{)}^{\mathrm{h}}:\mathrm{CLocRing}\to \mathrm{HensLocRing}$

가 존재한다. 이를 국소 가환환의 헨젤화(Hensel化, 틀:Llang)라고 한다. 즉, 국소 가환환 $R$에 대하여, 다음 보편 성질을 만족시키는 헨젤 국소환 $(R^{\mathrm{h}},{𝔪}^{\mathrm{h}})$ 및 국소환 준동형

$\mathrm{h}:R\to R^{\mathrm{h}}$

이 항상 존재하며, 이를 $R$의 헨젤화라고 한다.

• 임의의 헨젤 국소환 $(R^{\prime },{𝔪}^{\prime })$ 및 국소환 준동형 $f:R\to R^{\prime }$에 대하여, $f=g\circ \mathrm{h}$인 국소환 준동형 $g:R^{\mathrm{h}}\to R^{\prime }$이 유일하게 존재한다.

반면, 순 헨젤 국소환의 범주는 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 임의의 국소 가환환의 순 헨젤화(틀:Llang)를 정의할 수 있으며 이는 동형 아래 유일하지만, 이는 자기 동형을 가져 보편 성질을 만족시키지 않는다.

예

다음과 같은 환들은 헨젤 환이다.

• 임의의 체
• 임의의 완비 국소환
  • $p$진 정수환 ${\mathbb{Z}}_p$
  • 체 $K$에 대하여, 형식적 멱급수환 $K[[x]]$
• 실수체나 복소수체 위의, 수렴하는 거듭제곱 급수들의 환

p진 정수환의 헨젤 보조 정리

임의의 소수 $p$에 대하여, p진 정수환 ${\mathbb{Z}}_p$은 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 $(p)$이며, 잉여류체는 유한체 ${𝔽}_p$이다. 이 경우, 헨젤 보조 정리에 따르면, 임의의 일계수 다항식이 ${𝔽}_p$ 계수의 근의 근을 가지며, 이 근에서 기울기가 0이 아니라면, 이 근은 ${\mathbb{Z}}_p$ 계수의 근으로 올려질 수 있다. 사실

${\mathbb{Z}}_p=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underleftarrow{\lim }}{𝔽}_{p^n}$

이므로, 이는 임의의 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여 ${𝔽}_{p^n}$ 계수의 근을 갖는다는 것과 동치이다.

이는 합동 산술의 용어로 다음과 같이 쓸 수 있다. 임의의 정수 계수 다항식 $q\in \mathbb{Z}[x]$이 주어졌으며, 어떤 임의의 정수 $\tilde{a}\in \mathbb{Z}$에 대하여

$q(\tilde{a})\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

$\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}x}(\tilde{a})\equiv ̸0(\mathrm{mod}p)$

라고 하자. 그렇다면, 임의의 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여,

$q(a_n)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^k)$

인 $a_n\in \mathbb{Z}$이 존재한다.

$p$진 정수의 경우, 헨젤 보조 정리는 사실 일종의 뉴턴 방법에 해당한다. 구체적으로, 만약

$q(a_k)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^k)$

$(\mathrm{d}q/\mathrm{d}x)(a_k)\equiv ̸0(\mathrm{mod}{p}^k)$

인 $a_k\in \mathbb{Z}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면

$a_{k+1}=a_k-\frac{q(a_k)}{(\mathrm{d}q/\mathrm{d}x)(a_k)}$

로 놓자. 이는 일반적으로 정수가 아니지만, 가정에 의하여 $((\mathrm{d}q/\mathrm{d}x)(a_k){)}^{-1}$는 $p$진 정수이며, 따라서 $a_{k+1}$은 $p$진 정수로서 존재한다. 그렇다면 매클로린 급수에 따라서

$q(a_k)\equiv a_k+\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}x}(a_k)(\mathrm{mod}{p}^{k+1})$

이 된다. 이 과정을 반복하면 어떤 유일한 $p$진 정수 $a_{\mathrm{\infty }}$로 수렴하는 수열 $a_1,a_2,\dots$을 얻는다.

응용

대수기하학에서, 국소환이 자리스키 위상에서의 줄기환인 것처럼, 니스네비치 위상에서의 "국소환"은 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 "국소환"은 순 헨젤 국소환이다.

역사

쿠르트 헨젤이 20세기 초에 (현대적인 용어로는) $p$진 정수환 ${\mathbb{Z}}_p$가 헨젤 국소환임을 증명하였다. 1951년에 아즈마야 고로가 이를 추상화하여 헨젤 환의 개념을 도입하였다.

나가타 마사요시가 1953년에 헨젤화의 존재를 증명하였다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용