피카르-렙셰츠 이론

틀:위키데이터 속성 추적 미분위상수학과 대수기하학에서 피카르-렙셰츠 이론(틀:Llang)은 복소다양체 위의 정칙함수의 특이점 주위의 모노드로미를 연구하는 이론이다. 모스 이론의 복소수 버전이라고 생각할 수 있다.

피카르-렙셰츠 공식

복소 $k$차원 연결 복소다양체 $M$ 위에 정칙함수 $f:M\to \widehat{ℂ}$가 있다고 하자. 이러한 함수의 특이점은 $\partial f(p_i)=0$인 점 $p_i\in M$들이다. 특이점들이 이산 공간을 이루고, 또한 그 상 $z_i=f(p_i)$들이 서로 다르다고 하자.

일반적으로, 모든 $z\in \widehat{ℂ}\setminus \{z_i\}$에 대하여 $M_z=f^{-1}(z)$는 위상동형이다. $z\to z_i$인 극한을 취하면, $M_z$의 호몰로지류 가운데 하나가 0으로 축소돼 사라지게 된다 (vanishing cycle). 이러한 호몰로지류는 항상 중간 호몰로지, 즉 $(k-1)$차 호몰로지류 ${\delta }_i\in H_{k-1}(M_z)$임을 보일 수 있다. ($M_z$는 실수 $2(k-1)$차원이다.) $z$를 $z_i$ 주위로 작은 원을 그리며 변형시키면, 이에 대한 모노드로미는 $H_{k-1}(M_z)$에 대한 작용으로 표현할 수 있다. 즉, 이 모노드로미는 기본군 ${\pi }_1(\widehat{ℂ}\setminus \{z_i\};z)$의 $H_{k-1}(M_z)$에 대한 작용으로 나타내어진다.

피카르-렙셰츠 공식에 따라서, 이 작용은 다음과 같다. $w_i\in {\pi }_1(\widehat{ℂ}\setminus \{z_i\};z)$가 $z_i$를 반시계방향으로 도는 폐곡선이라고 하면,

$w_i:\gamma \mapsto \gamma +(-1{)}^{k(k+1)/2}(⟨\gamma ,{\delta }_i⟩){\delta }_i$

이다. 여기서

$⟨\gamma ,{\delta }_i⟩=[M_z]⌣(\gamma ⌢{\delta }_i)$

이다.

역사

에밀 피카르와 솔로몬 렙셰츠의 이름을 땄다. 에밀 피카르와 조르주 시마르(틀:Llang)는 특이점이 2개인 경우를 1897년 다뤘고, 솔로몬 렙셰츠가 임의의 수의 특이점이 있는 경우를 1924년 다뤘다.

각주

• 틀:서적 인용
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외부 링크

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