플랑쉐렐 정리

수학에서 플랑쉐렐 정리(때때로 파르세발 –플랑쉐렐 항등식)는 1910년 스위스 수학자 미셸 플랑쉐렐이 증명한 조화 해석학의 결과이다. 함수의 제곱 적분은 해당 주파수 스펙트럼의 제곱 적분과 동일하다는 정리이다. 즉, $f(x)$는 실수에서 정의된 함수이고, $\hat{f}(\xi )$는 주파수 스펙트럼이면,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi .$

보다 정확한 공식은 다음과 같다: 함수가 두 르베그 공간 $L^1(ℝ)$과 $L^2(ℝ)$ 모두에 있으면 푸리에 변환은 $L^2(ℝ)$ 안에 있고, 푸리에 변환 사상은 L² 노름에 대한 등장사상이다. 이는 $L^1(ℝ)\cap L^2(ℝ)$으로 제한된 푸리에 변환 사상이 선형 등장사상$L^2(ℝ)\mapsto L^2(ℝ)$(때로는 플랑쉐렐 변환이라고도 한다.)에 대한 유일한 확장이 있다. 이 등장사상은 실제로 유니터리 사상이다. 실제로 이는 제곱 적분 가능한 함수의 푸리에 변환에 대해 말하는 것을 가능하게 한다.

플랑쉐렐의 정리는 n 차원 유클리드 공간 ${ℝ}^n$에 명시된 대로 유효하다. 정리는 또한 국소 콤팩트 아벨 균에서 더 일반적으로 유지된다. 특정 기술적 가정을 만족하는 비가환 국소 콤팩트 군에 적합한 플랑쉐렐 정리 버전도 있다. 이것이 비가환 조화 해석학의 주제이다.

푸리에 변환의 유니터리성은 푸리에 급수의 유니터리성을 증명하는 데 사용된 이전(그러나 덜 일반적인) 결과를 기반으로 과학 및 공학 분야에서 종종 파르세발의 정리라고 불린다.

극화 항등식으로 인해 플랑쉐렐의 정리를 $L^2(ℝ)$ 두 함수의 내적에 적용할 수 있다. 즉, 만약 $f(x)$과 $g(x)$이 $L^2(ℝ)$ 함수이고 $𝒫$가 플랑쉐렐 변환을 나타내면, $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(𝒫f)(\xi )\overline{(𝒫g)(\xi )}d\xi ,$$이고 만약에 $f(x)$과 $g(x)$가 더욱이 $L^1(ℝ)$ 함수이면, $$(𝒫f)(\xi )=\hat{f}(\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-2\pi i\xi x}dx,$$ 그리고 $$(𝒫g)(\xi )=\hat{g}(\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)e^{-2\pi i\xi x}dx,$$ 그래서틀:Equation box 1

같이 보기

• 구면 함수에 대한 플랑쉐렐 정리

참고자료

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외부 링크

• 틀:SpringerEOM
• Plancherel's Theorem on Mathworld