파스칼 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 수학, 특히 행렬론과 조합론에서 파스칼 행렬(Pascal matrix)은 이항 계수를 요소로 포함하는 무한 행렬이다. 이를 표현하는 방법에는 상삼각 행렬, 하삼각 행렬, 그리고 대칭 행렬이 있다. 아래는 이들의 5 × 5 행렬 예이다.

상삼각 행렬: $U_5=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 1& 3& 6\\ 0& 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$  하삼각 행렬: $L_5=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0& 0\\ 1& 3& 3& 1& 0\\ 1& 4& 6& 4& 1\end{array}\right)$ 대칭행렬: $S_5=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 3& 6& 10& 15\\ 1& 4& 10& 20& 35\\ 1& 5& 15& 35& 70\end{array}\right)$

이 행렬들의 관계는 Sn = Ln Un 을 갖는다. 이것으로부터 3개의 행렬 모두가 Ln 과 Un를위한 삼각 행렬의 행렬식인 행렬식 한 개를 갖는 것을 확인할 수 있다. 즉, 행렬 S_n , L_n 및 U_n 은 유니모듈러 행렬이며, L_n 및 U_n 은 트레이스 n을 가진다.

대칭 파스칼 행렬의 원소는 이항 계수, 즉

$S_{ij}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!},n=i+j,r=i$

또한

$S_{ij}={}_{i+j}{𝐂}_i=\frac{(i+j)!}{(i)!(j)!}$

따라서 S_n 의 흔적은 다음과 같이 주어진다.

$\text{tr}(S_n)=\sum _{i=1}^n\frac{[2(i-1)]!}{[(i-1)!{]}^2}=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(2k)!}{(k!{)}^2}$

파스칼 행렬에 의해 주어진 처음 몇 개의 항들의 시퀀스는 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... ( OEIS의 시퀀스 A006134)이다.

같이 보기

• 라 수 (Lah number)
• 스털링 수

참고

• (OEIS)A006134
• EOM