라 수

수학에서 1955년 이보 라(Ivo Lah)가 발견한 라 수(Lah number,라 숫자)는 상승 팩토리얼을 하강 팩토리얼들로 표현함에 있어서 나타내는 계수들의 출현과 관련있다.^[1]

부호가없는 라수(Lah number)는 조합론에서 깊은 의미가 있다. 부호 없는 라 수에서 k가 공집합이 아니면서 순서로 정렬된 부분 집합으로 나뉠 수 있다. 라 숫자는 스털링 숫자와 관련이 있다.

생성 함수

부호없는 라수(Unsigned Lah numbers) 틀:OEIS

L (n, k) = (\binom{n - 1}{k - 1}) \frac{n!}{k!}

부호있는 라수(Signed Lah numbers) 틀:OEIS

L^{'} (n, k) = (- 1)^{n} (\binom{n - 1}{k - 1}) \frac{n!}{k!}

이 계수들은 라 수의 테이블에서 3번째 값이다.

x^{(n)}

상승 팩토리얼(상승 계승)은

(x + 0) (x + 1) (x + 2) \dots (x + n - 1) = x (x + 1) (x + 2) \dots (x + n - 1)

(x)_{n}

하강 팩토리얼(하강 계승)은

(x - 0) (x - 1) (x - 2) \dots (x - n + 1) = x (x - 1) (x - 2) \dots (x - n + 1)

그리고

x^{(n)} = \sum_{k = 1}^{n} L (n, k) (x)_{k}, (x)_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{n - k} L (n, k) x^{(k)}

이때, $x (x + 1) (x + 2) = 6 x + 6 x (x - 1) + 1 x (x - 1) (x - 2)$

$_{n} ╲^{k}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1
2	2	1
3	6	6	1
4	24	36	12	1
5	120	240	120	20	1
6	720	1800	1200	300	30	1
7	5040	15120	12600	4200	630	42	1
8	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	1
9	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	1
10	3628800	16329600	21772800	12700800	3810240	635040	60480	3240	90	1
11	39916800	199584000	299376000	199584000	69854400	13970880	1663200	11880	4950	110	1
12	479001600	2634508800	4390848000	3293136000	1317254400	307359360	43908480	3920400	217800	7260	132	1

↑ John Riordan, Introduction to Combinatorial Analysis, Princeton University Press (1958, reissue 1980) 틀:Isbn (reprinted again in 2002 by Dover Publications).