적분 변환

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 적분 변환(積分變換, 틀:Llang)은 어떤 핵(틀:Llang)과의 적분으로 정의되는, 함수 공간 또는 단면 공간 위의 선형 변환이다. 원래 함수의 특성을 좀 더 쉽게 포착하고 응용하기 위해 사용한다. 보통은 변환된 함수를 역변환을 통해 원래 함수 공간으로 매핑할 수 있다.

간단한 형태

적분 변환은 어떤 변환 $T$에 대해 다음과 같이 나타난다.

$(Tf)(u)=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}f(t)K(t,u)dt$

$f$는 선형 변환에 사용한 함수를, $Tf$는 변환된 함수를 나타낸다. 적분 변환은 일종의 수학적 연산자이다.

$K$는 원래의 함수와 변환된 함수의 변수를 모두 가지고 있는 함수로, 적분변환은 이 함수를 잘 선택하여 얻는다. 위 식에서 $K$를 변환의 커널(kernel) 혹은 핵이라고 부른다.

어떤 커널들은 자신과 연관된 (간단하게 말해서)역커널 $K^{-1}(u,t)$이 존재하고, 그것에 대해 역변환을 생각할 수 있다.

$f(t)=\underset{u_1}{\overset{u2}{\int }}(Tf)(u)K^{-1}(u,t)du$

한편, 커널의 변수의 위치를 바꿔도 커널이 바뀌지 않는 커널을 대칭커널이라고 한다.. 다시 말해서 $K(t,u)=K(u,t)$인 커널 $K$은 대칭커널이다. 적분 방정식에서 대칭 커널은 자기 수반 연산자이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 및 $F\twoheadrightarrow M$

그렇다면, 곱공간 $M\times M$의 사영 함수

${\mathrm{proj}}_1,{\mathrm{proj}}_2\twoheadrightarrow M$

를 통해, $M\times M$ 위의 매끄러운 벡터 다발

$E⊠F^{*}={\mathrm{proj}}_1^{*}E\otimes {\mathrm{proj}}_2^{*}{F}^{*}$

를 정의할 수 있다.

$(E,F)$-핵(核函數, 틀:Llang)은 다음과 같은 꼴의 매끄러운 단면이다.

$K\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}((E\otimes \sqrt{|\mathrm{\Lambda }(M)|})⊠(F^{*}\otimes \sqrt{|\mathrm{\Lambda }(M)|}))$

(여기서 ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}$는 매끄러운 단면의 공간을 뜻하며, $\sqrt{|\mathrm{\Lambda }(M)|}$는 무게 $(\dim M)/2$의 텐서 밀도의 실수 선다발을 뜻한다.)

일반화 단면

$E$에 추가로 매끄러운 노름이 주어졌다고 하자.

이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

${\mathrm{\Gamma }}_{\text{comp}}^{\mathrm{\infty }}({ℰ}^{*}\otimes |\mathrm{\Lambda }(M)|)$

여기서

• ${\mathrm{\Gamma }}_{\text{comp}}^{\mathrm{\infty }}(-)$는 콤팩트 지지 매끄러운 단면들의 공간이다.
• $|\mathrm{\Lambda }(M)|$은 $M$ 위의, 무게 $\dim M$의 텐서 밀도의 실수 선다발이다.

이 위에는 균등 노름을 부여하여 노름 공간으로 만들 수 있다.

$E$의 일반화 단면(一般化斷面, 틀:Llang)의 위상 벡터 공간은 위 노름 공간의 연속 쌍대 공간이다. 이를

${\mathrm{\Gamma }}^{-\mathrm{\infty }}(E)$

로 표기하자.

적분 변환

$(E,F)$-핵 $K$에 대응되는 적분 변환은 다음과 같은 꼴의 실수 선형 변환이다.

${\mathrm{\Gamma }}^{-\mathrm{\infty }}(E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(F)$

$s\mapsto \underset{M}{\int }K(x,y)s(x)\mathrm{d}x$

성질

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 매끄러운 다양체 $M$
• $M$ 위의 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 및 $F\twoheadrightarrow M$
• $E$와 $F$ 위의 (매끄러운) 노름

슈와르츠 핵 정리(Schwartz核定理, 틀:Llang)에 따르면, 콤팩트 공간 $M$ 위에서 핵의 공간과 적분 변환의 공간 사이에는 다음과 같은 표준적인 전단사 실수 선형 변환이 존재한다.

${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}((E\otimes \sqrt{|\mathrm{\Lambda }(M)|})⊠(F^{*}\otimes \sqrt{|\mathrm{\Lambda }(M)|}))\to \mathrm{B}({\mathrm{\Gamma }}^{-\mathrm{\infty }}(E\otimes \sqrt{|\mathrm{\Lambda }M|}),\mathrm{\Gamma }(F\otimes \sqrt{|\mathrm{\Lambda }M|}))$

$K\mapsto (s\mapsto (y\mapsto \underset{M}{\int }s(x)K(x,y)\mathrm{d}x))(K\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}((E\otimes \sqrt{|\mathrm{\Lambda }(M)|})⊠(F^{*}\otimes \sqrt{|\mathrm{\Lambda }(M)|})),s\in {\mathrm{\Gamma }}^{-\mathrm{\infty }}(E\otimes \sqrt{|\mathrm{\Lambda }M|}),y\in M)$

여기서 $\mathrm{B}(-,-)$는 유계 작용소들의 노름 공간을 뜻한다.

예

유클리드 공간 위의, 흔히 사용되는 적분 변환들은 다음과 같다.

적분 변환 목록

변환	기호	$K$	t1	t2	$K^{-1}$	u1	u2
푸리에 변환	$ℱ$	$\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
하틀리 변환	$\mathscr{H}$	$\frac{\cos (ut)+\sin (ut)}{\sqrt{2\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{\cos (ut)+\sin (ut)}{\sqrt{2\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
멜린 변환	$ℳ$	$t^{u-1}$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{t^{-u}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
양측 라플라스 변환	$ℬ$	$e^{-ut}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
라플라스 변환	$ℒ$	$e^{-ut}$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
바이어슈트라스 변환	$𝒲$	$\frac{e^{-(u-t{)}^2/4}}{\sqrt{4\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{+(u-t{)}^2/4}}{i\sqrt{4\pi }}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
항켈 변환		$t{J}_{\nu }(ut)$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$u{J}_{\nu }(ut)$	$0$	$\mathrm{\infty }$
아벨 변환		$\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}$	$u$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{-1}{\pi \sqrt{u^2-t^2}}\frac{d}{du}$	$t$	$\mathrm{\infty }$
힐베르트 변환	$\mathscr{H}il$	$\frac{1}{\pi }\frac{1}{u-t}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{1}{\pi }\frac{1}{u-t}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
푸아송 핵		$\frac{1-r^2}{1-2r\cos \theta +r^2}$	$0$	$2\pi$
동일 변환		$\delta (u-t)$	$t_1<u$	$t_2>u$	$\delta (t-u)$	$u_1<t$	$u_2>t$

역사

슈와르츠 핵 정리는 로랑 슈와르츠가 1952년에 유클리드 공간에 대하여 발표하였다.

같이 보기

• 미분방정식
• 합성곱

외부 링크

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