크라메르 추측

틀:위키데이터 속성 추적 수론에서 크라메르 추측(틀:Llang)은 소수 간극의 분포에 대한 가설이다.

정의

$n$번째 소수를 $p_n$이라고 쓰자. 크라메르 추측에 따르면,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\ln p_n{)}^2}=1$

이다.

유도

크라메르 추측은 소수의 분포에 대한 크라메르 모형(틀:Llang)으로부터 유도된다. 크라메르 모형은 소수의 분포의 통계학적 모형이며, 이에 따르면 양의 정수 $n\ge 3$이 소수일 확률은 대략

$\mathrm{Pr}(n\in \mathbb{P})=\frac{1}{\ln n}$

이다 ($n\le 2$인 경우의 확률은 임의로 고를 수 있다). 또한, 각 정수가 소수인지 여부는 독립 확률 변수로 여긴다.

이에 따르면, 크기가 $n$ 이하인 소수들의 수의 기댓값은 대략

$\pi (n)=\sum _{k\le n}\mathrm{Pr}(k\in \mathbb{P})=\sum _{k=2}^n\frac{1}{\ln k}\approx \underset{2}{\overset{n}{\int }}\frac{dk}{\ln k}=\mathrm{Li}(n)-\mathrm{Li}(2)$

이며, 따라서 소수 정리를 얻는다.

크라메르 모형에서, 크라메르 추측은 거의 확실히 (즉, 확률 1로) 성립한다. 앤드루 그랜빌(틀:Llang)은 작은 소수의 배수를 고려하여 크라메르 모형을 개량하였는데, 이에 따르면

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{(\ln p_n{)}^2}\gtrsim 2\exp (-\gamma )\approx 1.1229$

이다. 여기서 $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다.

부분적인 증명

크라메르 추측은 현재 미해결 문제로 남아 있다. 크라메르 추측에 대한 원래 논문에서, 하랄드 크라메르는 리만 가설을 가정한다면

$p_{n+1}-p_n=O(\sqrt{p_n}\ln p_n)$

이라는 사실을 증명하였다. 1931년에 핀란드의 수학자 에리크 베스트쉰티우스(틀:Llang)는

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\mathrm{\infty }$

임을 증명하였다.

수치적 증거

토머스 나이슬리(틀:Llang)의 1999년 수치적 계산에 따르면, 매우 큰 소수들의 간극은 대략

$\frac{\ln p_n}{\sqrt{p_{n+1}-p_n}}\approx 1.13$

을 만족시킨다.

역사

하랄드 크라메르가 1936년에 통계적 모형을 바탕으로 추측하였다.

같이 보기

• 소수 정리

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:매스월드