큐-팩토리얼

틀:위키데이터 속성 추적 큐-팩토리얼(q-factorial)은 포흐하머 심볼와 큐-넘버가 작동하는 큐-아날로그 팩토리얼(계승)이다.

$[n{]}_q!=\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}$ 여기서$(q;q{)}_n$는 큐-포흐하머 기호

계산

$\underset{q\to 1}{\lim }\frac{1-q^n}{1-q}=n$

$[n{]}_q=\frac{1-q^n}{1-q}=q^0+q^1+q^2+\dots +q^{n-1}$

$[n{]}_q=\frac{1-q^n}{1-q}=1+q+q^2+\dots +q^{n-1}$

$[n{]}_q!=\prod _{k=1}^n[k{]}_q$

$=[1{]}_q\cdot [2{]}_q\cdot [3{]}_q\cdots [n-1{]}_q\cdot [n{]}_q$

$=\left(\frac{1-q}{1-q}\right)\cdot \left(\frac{1-q^2}{1-q}\right)\cdot \left(\frac{1-q^3}{1-q}\right)\cdots \left(\frac{1-q^{n-1}}{1-q}\right)\cdot \left(\frac{1-q^n}{1-q}\right)$

$=(1)\cdot (1+q)\cdot (1+q+q^2)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})$

$=\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}$

성질

$[n{]}_q!={\mathrm{\Gamma }}_q(n+1)=\prod _{k=1}^n[k{]}_q=[1{]}_q\cdot [2{]}_q\cdot [3{]}_q\cdots [n-1{]}_q\cdot [n{]}_q$

$n!=\frac{n!}{(n-k)!}$

$n!=(n-0)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-(n-1)+1)\cdot (n-(n-0)+1)$

$n!=(n)\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n-(n-2))\cdot (n-(n-1))$

$n!=(1)\cdot (2)\cdot (3)\cdots (n-1)\cdot (n)$

$q=1(q\to 1)$

$\therefore [n{]}_1!=[1{]}_1\cdot [2{]}_1\cdot [3{]}_1\cdots [n-1{]}_1\cdot [n{]}_1=(1)\cdot (2)\cdot (3)\cdots (n-1)\cdot (n)=n!$

$\therefore [n{]}_q!=\frac{[n{]}_q!}{[n-k{]}_q!}$

$\therefore [n{]}_q!=\frac{[n{]}_q!}{[n-n{]}_q!}=\frac{[n{]}_q!}{[0{]}_q!}$

$\therefore [0{]}_q!=\frac{[n{]}_q!}{[n{]}_q!}=1$

$[1{]}_q!=1$

$[2{]}_q!=1+q$

$[3{]}_q!=(1+q)(1+q+q^2)=1+2q+2q^2+q^3$

$[4{]}_q!=(1+q)(1+q+q^2)(1+q+q^2+q^3)=1+3q+5q^2+6q^3+5q^4+3q^5+q^6$

특수값

• 큐-이항 계수(q-binomial coefficients)

큐-팩토리얼로부터의 가우스 계수, 또는 가우스 다항식으로 알려진 가우스 이항 계수

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q=\frac{[n{]}_q!}{[k{]}_q![n-k{]}_q!}$

큐-다항계수는 다음과 같이 정의 할 수 있다.

${\left[\begin{array}{c}n\\ k_1,\dots ,k_m\end{array}\right]}_q=\frac{[n{]}_q!}{[k_1{]}_q!\cdots [k_m{]}_q!},$

• 큐-지수 $e$

$e_q^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{[n{]}_q!}$

• 큐-$sine$

${\sin }_q(x)$

• 큐-파이

${\pi }_q$

같이 보기

• 큐-폴리감마 함수
• 큐-아날로그
• 초기하함수