쿠라토프스키 모노이드

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 쿠라토프스키 모노이드(틀:Llang)는 주어진 위상 공간의 부분 집합 위의 폐포 · 내부 · 여집합 연산들로 구성된 모노이드이다.

정의

위상 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 이제, 문자 $\{𝗄,𝖼\}$로 생성되는 자유 모노이드(클레이니 스타) $\{𝗄,𝖼{\}}^{*}$가 멱집합 $\mathrm{Pow}(X)$ 위에 다음과 같이 작용한다고 하자.

$𝗄:S\mapsto \mathrm{cl}(S)$

$𝖼:S\mapsto X\setminus S$

즉, $𝗄$는 폐포 연산이며, $𝖼$는 여집합 연산이다.

이제, $\mathrm{Pow}(X)$ 위에 똑같이 작용하는 연산들을 서로 동치로 간주하자.

$s\sim t⟺\mathrm{\forall }S\subseteq X:s(S)=t(S)(s,t\in \{𝗄,𝖼{\}}^{*})$

이는 합동 관계를 이루며, 이에 대한 몫 모노이드 $\{𝗄,𝖼{\}}^{*}/\sim$를 $X$의 쿠라토프스키 모노이드(틀:Llang)라고 한다.

분류

가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드

가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드는 14개의 원소를 가지며, 다음과 같은 세 항등식으로 정의된다.틀:Rp틀:Rp ($ϵ$은 길이 0의 문자열이다.)

• (폐포의 멱등성) $𝗄𝗄=𝗄$
• (여집합의 대합성) $𝖼𝖼=ϵ$
• (폐포의 내부의 정칙성) $𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄=𝗄𝖼𝗄$
  • 편의상, 내부 연산 $𝗂=𝖼𝗄𝖼$를 정의하면, 이는 $𝗂𝗄𝗂𝗄=𝗂𝗄$와 나머지 두 항등식으로부터 함의된다. 즉, 이는 폐포의 내부가 항상 정칙 열린집합임을 나타낸다.

이 사실을 쿠라토프스키 14개 집합 정리(Kuratowski十四個集合定理, 틀:Llang)라고 한다. 이 모노이드를 $M_{\text{K}}$라고 표기하자. 즉, 쿠라토프스키 14개 집합 정리에 등장하는 14개의 집합들은 다음과 같다.

문자열	설명	$S$ 위의 작용	문자열	설명	$S$ 위의 작용
$ϵ$	원래 집합	$S$	$𝖼$	여집합	$X\setminus S$
$𝗄$	폐포	$\mathrm{cl}S$	$𝖼𝗄$	폐포의 여집합	$X\setminus \mathrm{cl}S$
$𝖼𝗄𝖼$	내부	$\mathrm{int}S$	$𝗄𝖼$	내부의 여집합	$X\setminus \mathrm{int}S$
$𝗄𝖼𝗄𝖼$	내부의 폐포	$\mathrm{cl}(\mathrm{int}S)$	$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$	내부의 폐포의 여집합	$X\setminus \mathrm{cl}(\mathrm{int}S)$
$𝖼𝗄𝖼𝗄$	폐포의 내부	$\mathrm{int}(\mathrm{cl}S)$	$𝗄𝖼𝗄$	폐포의 내부의 여집합	$X\setminus \mathrm{int}(\mathrm{cl}S)$
$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$	내부의 폐포의 내부	$\mathrm{int}(\mathrm{cl}(\mathrm{int}S))$	$𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$	내부의 폐포의 내부의 여집합	$X\setminus \mathrm{int}(\mathrm{cl}(\mathrm{int}S))$
$𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄$	폐포의 내부의 폐포	$\mathrm{cl}(\mathrm{int}(\mathrm{cl}S))$	$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄$	폐포의 내부의 폐포의 여집합	$X\setminus \mathrm{cl}(\mathrm{int}(\mathrm{cl}S))$

그렇다면, 임의의 위상 공간의 임의의 부분 집합의 쿠라토프스키 모노이드는 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다.

이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.틀:Rp

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{int}(\mathrm{cl}S)& \subset & \mathrm{cl}(\mathrm{int}(\mathrm{cl}S))& \subset & \mathrm{cl}S\\ \cup & & \cup \\ \mathrm{int}(\mathrm{cl}(\mathrm{int}S))& \subset & \mathrm{cl}(\mathrm{int}S)& & \cup \\ \cup \\ \mathrm{int}S& & \subset & & S\end{array}$

위상 공간의 가능한 쿠라토프스키 모노이드

임의의 위상 공간의 쿠라토프스키 모노이드는 다음 7가지 가운데 하나이다.틀:Rp

• ㈎ $M_{\text{K}}$ (가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드)
• ㈏ 크기 10의 모노이드. 이는 $𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄=𝗄𝖼𝗄𝖼$로 생성되는 합동 관계에 대한 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다.
• ㈐ 크기 10의 모노이드. 이는 $𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄=𝖼𝗄𝖼𝗄$로 생성되는 합동 관계에 대한 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다.
• ㈑ 크기 8의 모노이드. 이는 $𝖼𝗄𝖼𝗄=𝗄𝖼𝗄𝖼$로 생성되는 합동 관계에 대한 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다.
• ㈒ 크기 6의 모노이드. 이는 $𝗄𝖼𝗄=𝖼𝗄$로 생성되는 합동 관계에 대한 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 모든 열린집합이 열린닫힌집합이지만 이산 공간이 아닌 것이다.
• ㈓ 크기 2의 모노이드 (2차 순환군). 이는 $𝗄=ϵ$로 생성되는 합동 관계에 대한 $M_{\text{K}}$의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 공집합이 아닌 이산 공간인 것이다.
• ㈔ 크기 1의 모노이드 (자명군). 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가지는 위상 공간은 공집합 밖에 없다.

㈎		㈏		㈐		㈑		㈒		㈓		㈔
$ϵ$	$𝖼$	$ϵ$	$𝖼$	$ϵ$	$𝖼$	$ϵ$	$𝖼$	$ϵ$	$𝖼$	$ϵ$	$𝖼$	$ϵ$
$𝗄$	$𝖼𝗄$	$𝗄$	$𝖼𝗄$	$𝗄$	$𝖼𝗄$	$𝗄$	$𝖼𝗄$	$𝗄$	$𝖼𝗄$
$𝖼𝗄𝖼𝗄$	$𝗄𝖼𝗄$	$𝖼𝗄𝖼𝗄$	$𝗄𝖼𝗄$	$𝖼𝗄𝖼𝗄$	$𝗄𝖼𝗄$	$𝖼𝗄𝖼𝗄$	$𝗄𝖼𝗄$
$𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄$	$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄$	$𝗄𝖼𝗄𝖼$	$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$
$𝗄𝖼𝗄𝖼$	$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$			$𝗄𝖼𝗄𝖼$	$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$			$𝖼𝗄𝖼$	$𝗄𝖼$
$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$	$𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$	$𝖼𝗄𝖼𝗄$	$𝗄𝖼𝗄$
$𝖼𝗄𝖼$	$𝗄𝖼$	$𝖼𝗄𝖼$	$𝗄𝖼$	$𝖼𝗄𝖼$	$𝗄𝖼$	$𝖼𝗄𝖼$	$𝗄𝖼$

성질

조밀 집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합

$M_{\text{K}}$의 원소 $s\in M_{\text{K}}$에 대하여, $s(S)=\varnothing$이 되는 특별한 부분 집합 $S\subseteq X$을 생각할 수 있다. 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 6개가 있으며, 다음과 같다.

문자열 $s$	$s(S)=\varnothing$인 부분 집합 $S$	문자열 $s$	$s(S)=\varnothing$인 부분 집합 $S$
$ϵ$	공집합	$𝖼$	공집합의 여집합
$𝗄$		$𝗄𝖼$
$𝖼𝗄𝖼𝗄$	조밀한 곳이 없는 집합	$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$	조밀한 곳이 없는 집합의 여집합
$𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄$		$𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$
$𝖼𝗄𝖼$	조밀 집합의 여집합	$𝖼𝗄$	조밀 집합
$𝗄𝖼𝗄𝖼$		$𝗄𝖼𝗄$
$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$		$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄$

즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립함을 알 수 있다.

조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 공집합

조밀 집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 공집합의 여집합

열린집합·닫힌집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합

마찬가지로, $M_{\text{K}}$의 원소 $s\in M_{\text{K}}$에 대하여, $s(S)=S$가 되는 특별한 부분 집합 $S\subseteq X$을 생각할 수 있다. $s$가 $𝖼$를 짝수 개 포함한다고 가정하면, 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 5개가 있으며, 다음과 같다.

문자열 $s$	$s(S)=S$인 부분 집합 $S$	문자열 $s$	$s(S)=S$인 부분 집합 $S$
$ϵ$	(임의의 부분 집합)
$𝖼𝗄𝖼$	열린집합	$𝗄$	닫힌집합
$𝖼𝗄𝖼𝗄$	정칙 열린집합	$𝗄𝖼𝗄𝖼$	정칙 닫힌집합
$𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼$		$𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄$

즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

	⇗	정칙 열린집합 ⇒ 열린집합	⇘
열린닫힌집합				부분 집합
	⇘	정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합	⇗

만약 $s$가 $𝖼$를 홀수 개 포함한다면, $s(S)=S$인 것은 $S=X=\varnothing$인 경우 밖에는 불가능하다.

증명:

$X\ne \varnothing$이라고 가정하자. 다음과 같은 7개 경우가 있다.

• (0) $𝖼$

  당연히 불가능하다.

• (1) $𝗄𝖼=𝖼𝗂$

  이 경우, $\varnothing =S\setminus S=S\setminus 𝖼𝗂(S)=𝗂(S)$이다. 따라서 $S=𝖼𝗂(S)=𝖼(\varnothing )=X$이어야 한다. 그런데 $X=S=𝖼𝗂(X)=\varnothing$이므로 이는 불가능하다.

• (1′) $𝗄𝖼𝗄=𝗄𝗂𝖼=𝖼𝗂𝗄$

  이 경우, $S$는 정칙 닫힌집합이므로 $S=𝖼𝗂𝗄(S)=𝖼𝗂(S)$인데, 이는 경우 (1)이다.

• (1″) $𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼=𝗄𝗂𝗄𝖼=𝖼𝗂𝗄𝗂$

  이 경우, $S$는 정칙 닫힌집합이므로 $S=𝖼𝗂𝗄𝗂(S)=𝖼𝗂(S)$인데, 이는 경우 (1)이다.

• (2) $𝖼𝗄$

  당연히 불가능하다.

• (2′) $𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼=𝗂𝗄𝖼=𝖼𝗄𝗂$

  이 경우 $S$는 정칙 열린집합이므로, $S=𝖼𝗄𝗂(S)=𝖼𝗄(S)$인데, 이는 경우 (2)이다.

• (2″) $𝖼𝗄𝖼𝗄𝖼𝗄=𝗂𝗄𝗂𝖼=𝖼𝗄𝗂𝗄$

  이 경우 $S$는 정칙 열린집합이므로, $S=𝖼𝗄𝗂𝗄(S)=𝖼𝗄(S)$인데, 이는 경우 (2)이다.

예

실수선의 쿠라토프스키 모노이드는 $M_{\text{K}}$이다. 구체적으로, 실수선의 다음과 같은 부분 집합을 생각하자.

$S=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap \mathbb{Q})\subseteq ℝ$

그렇다면, $M_{\text{K}}$는 $S$ 위에 서로 다르게 작용한다.

역사

쿠라토프스키 14개 집합 정리는 카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다.

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용