코시 적분 공식

틀:위키데이터 속성 추적 복소해석학에서 코시 적분 공식(-積分公式, 틀:Llang)은 정칙 함수를 경곗값에 대한 경로 적분으로 나타내는 공식이다.

정의

유계 연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$의 경계 $\partial D$가 유한 개의 조각마다 ${𝒞}^1$ 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 $f:\mathrm{cl}D\to ℂ$가 $D$에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 공식에 따르면, 임의의 $z_0\in D$에 대하여, 다음이 성립한다.틀:Rp

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial D}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z$

우변의 적분을 코시 적분(-積分, 틀:Llang)이라고 부른다.

고계 도함수

이는 $f{|}_{\partial D}$에 코시 변환을 가하여 얻는 함수이므로, 임의의 음이 아닌 정수 $n$ 및 $z_0\in D$에 대하여,

$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\underset{\partial D}{\int }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}\mathrm{d}z$

이다.

코시 부등식

이에 따라, 임의의 음이 아닌 정수 $n$ 및 $z_0\in D$ 및 $0<r<d(z_0,\partial D)$에 대하여,

$|f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!}{r^n}\underset{|z|=r}{\sup }|f(z)|$

이다. 이를 코시 부등식이라고 한다.

증명

임의의 $0<r<d(z_0,\partial D)$를 취하자. 그렇다면, 항등식

$\underset{|z-z_0|=r}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{z-z_0}=2\pi i$

$\underset{|z-z_0|=r}{\int }\mathrm{d}z=0$

과 코시 적분 정리에 의하여,

$\begin{array}{cc}\underset{\partial D}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z-2\pi if(z_0)& =\underset{|z-z_0|=r}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z-2\pi if(z_0)\\ & =\underset{|z-z_0|=r}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z-\underset{|z-z_0|=r}{\int }\frac{f(z_0)}{z-z_0}\mathrm{d}z-\underset{|z-z_0|=r}{\int }{f}^{\prime }(z_0)\mathrm{d}z\\ & =\underset{|z-z_0|=r}{\int }(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f^{\prime }(z_0))\mathrm{d}z\end{array}$

이며, 따라서

$|\underset{\partial D}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z-2\pi if(z_0)|\le \underset{r\to 0^{+}}{\lim }(\underset{|z-z_0|=r}{\max }|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f^{\prime }(z_0)|\underset{|z-z_0|=r}{\int }|\mathrm{d}z|)=0$

이다.

예

적분

$\underset{|z|=2}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{z^2+1}$

를 생각하자. 함수

$z\mapsto \frac{1}{z^2+1}$

는

$\{z\in ℂ:|z|<2,|z-i|,|z+i|>1/2\}$

의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 정리에 의하여

$\begin{array}{cc}\underset{|z|=2}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{z^2+1}& =\underset{|z-i|=1/2}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{z^2+1}+\underset{|z+i|=1/2}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{z^2+1}\\ & =\underset{|z-i|=1/2}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{(z+i)(z-i)}+\underset{|z+i|=1/2}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{(z+i)(z-i)}\end{array}$

이다. 첫째 항에서 함수

$z\mapsto \frac{1}{z+i}$

는

$\{z\in ℂ:|z-i|<1/2\}$

의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여

$\underset{|z-i|=1/2}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{(z+i)(z-i)}=\frac{2\pi i}{z+i}{|}_{z=i}=\pi$

이며, 마찬가지로 둘째 항에서 함수

$z\mapsto \frac{1}{z-i}$

는

$\{z\in ℂ:|z+i|<1/2\}$

의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여

$\underset{|z+i|=1/2}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{(z+i)(z-i)}=\frac{2\pi i}{z-i}{|}_{z=-i}=-\pi$

이다. 따라서,

$\underset{|z|=2}{\int }\frac{\mathrm{d}z}{z^2+1}=0$

이다.

같이 보기

• 코시-리만 방정식
• 모레라 정리
• 미타그레플레르 정리
• 그린 함수

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드