코시 변환

틀:위키데이터 속성 추적 복소해석학에서 코시 변환(틀:Llang) 또는 코시형 적분(-型積分, 틀:Llang)은 코시 적분 공식에 등장하는 적분 변환이다.

정의

조각마다 ${𝒞}^1$ 곡선 $\gamma :[a,b]\to ℂ$ 위에 정의된 연속 함수 $\phi :\gamma ([a,b])\to ℂ$의 코시 변환 상 $𝒞f$는 다음과 같은 함수이다.

$𝒞f:ℂ\setminus \gamma ([a,b])\to ℂ$

$𝒞f(w)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)}{z-w}\mathrm{d}z\mathrm{\forall }w\in ℂ\setminus \gamma ([a,b])$

성질

조각마다 ${𝒞}^1$ 곡선 $\gamma :[a,b]\to ℂ$ 위에 정의된 연속 함수 $f:\gamma ([a,b])\to ℂ$의 코시 변환 상 $𝒞f:ℂ\setminus \gamma ([a,b])\to ℂ$는 정칙 함수이다. 또한, 임의의 음이 아닌 정수 $n$ 및 $w\in ℂ\setminus \gamma ([a,b])$에 대하여, 다음이 성립한다.

$(𝒞f{)}^{(n)}(w)=\frac{n!}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)}{(z-w{)}^{n+1}}\mathrm{d}z$

틀:증명 임의의 $w\in ℂ\setminus \gamma ([a,b])$ 및 $w^{\prime }\in \mathrm{B}(w,d(w,\gamma ([a,b]))/2)$를 취하자. 그렇다면, 임의의 $z\in \gamma ([a,b])$에 대하여,

$\begin{array}{cc}\frac{1}{z-w^{\prime }}& =\frac{1}{z-w}\cdot \frac{1}{1-(w^{\prime }-w)/(z-w)}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(w^{\prime }-w{)}^n}{(z-w{)}^{n+1}}\end{array}$

이다. 이 급수는

$\frac{(w^{\prime }-w{)}^n}{(z-w{)}^{n+1}}\le \frac{1}{d(w,\gamma ([a,b]))}\cdot \frac{1}{2^n}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{d(w,\gamma ([a,b]))}\cdot \frac{1}{2^n}<\mathrm{\infty }$

이므로 $z\in \gamma ([a,b])$에서 균등 수렴한다. 따라서,

$(𝒞f)(w^{\prime })=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)}{z-w^{\prime }}\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi i}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(w^{\prime }-w{)}^n\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)}{(z-w{)}^{n+1}}\mathrm{d}z$

이다. 즉, $𝒞f$는 $w$에서 정칙 함수이며, 임의의 음이 아닌 정수 $n$에 대하여,

$\frac{(𝒞f{)}^{(n)}(w)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)}{(z-w{)}^{n+1}}\mathrm{d}z$

가 성립한다. 틀:증명 끝

유계 연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$의 경계 $\partial D$가 유한 개의 조각마다 ${𝒞}^1$ 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 $f:\mathrm{cl}D\to ℂ$가 $D$에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 공식에 따르면, $f{|}_{\partial D}$의 코시 변환 상은

$𝒞f:ℂ\setminus \partial D\to ℂ$

$𝒞f(w)=\{\begin{array}{cc}f(w)& w\in D\\ 0& w\in ̸D\end{array}\mathrm{\forall }w\in ℂ\setminus \partial D$

이다.

예

(양의 방향을 갖는) 곡선틀:Rp

$\partial \mathrm{B}(0,2)=\{z\in ℂ:|z|=2\}$

위의 연속 함수

$f:\partial \mathrm{B}(0,2)\to ℂ$

$f(z)=\frac{1}{(z-i)(z-3i)}\mathrm{\forall }z\in \phi :\partial \mathrm{B}(0,2)$

에 대한 코시 변환 상은

$𝒞f:ℂ\setminus \partial \mathrm{B}(0,1)\to ℂ$

$𝒞f(w)=\{\begin{array}{cc}1/(w-3i)& w\in \mathrm{B}(0,1)\\ 1/2i(w-i)& w\in ̸\mathrm{B}(0,1)\end{array}\mathrm{\forall }w\in ℂ\setminus \partial \mathrm{B}(0,1)$

이다.