코시 부등식

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 복소해석학에서 코시 부등식(-不等式, 틀:Llang) 또는 코시 추정(-推定, 틀:Llang)은 정칙 함수의 테일러 급수 계수의 상계를 제시하는 부등식이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$에 정의된 정칙 함수 $f:D\to ℂ$가 주어졌다고 하자. 코시 부등식에 따르면, 임의의 음이 아닌 정수 $n$ 및 $z_0\in D$ 및 $0<r<d(z_0,\partial D)$에 대하여, 다음이 성립한다.

$|f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!}{r^n}\underset{|z-z_0|=r}{\sup }|f(z)|$

여기서

$d(z_0,\partial D)=\underset{z\in \partial D}{\inf }|z-z_0|$

이다.

증명

코시 부등식은 코시 적분 공식으로부터 다음과 같이 간단히 유도된다.

$\begin{array}{cc}|f^{(n)}(z_0)|& =\left|\frac{n!}{2\pi i}\underset{|z-z_0|=r}{\int }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}\mathrm{d}z\right|\\ & \le \frac{n!}{2\pi }\underset{|z-z_0|=r}{\int }\frac{|f(z)|}{|z-z_0{|}^{n+1}}\left|\mathrm{d}z\right|\\ & \le \frac{n!}{2\pi r^{n+1}}\cdot \underset{|z-z_0|=r}{\sup }|f(z)|\cdot \underset{|z-z_0|=r}{\int }|\mathrm{d}z|\\ & =\frac{n!}{r^n}\underset{|z-z_0|=r}{\sup }|f(z)|\end{array}$

따름정리

콤팩트 집합 위의 부등식

연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$에 정의된 정칙 함수 $f:D\to ℂ$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 $n$ 및 콤팩트 집합 $K\subseteq D$ 및 $z_0\in K$에 대하여, 다음이 성립한다.틀:Rp

$|f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!}{d(K,\partial D{)}^n}\underset{z\in D}{\sup }|f(z)|$

여기서

$d(K,\partial D)=\underset{z\in K,z^{\prime }\in \partial D}{\inf }|z-z^{\prime }|$

이다.

이는 코시 부등식에 의하여, 임의의 $0<r<d(K,\partial D)\le d(z_0,\partial D)$에 대하여

$|f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!}{r^n}\underset{|z-z_0|=r}{\sup }|f(z)|\le \frac{n!}{r^n}\underset{z\in D}{\sup }|f(z)|$

이므로,

$|f^{(n)}(z_0)|\le \underset{r\to d(K,\partial D{)}^{-}}{\lim }\frac{n!}{r^n}\underset{z\in D}{\sup }|f(z)|=\frac{n!}{d(K,\partial D{)}^n}\underset{z\in D}{\sup }|f(z)|$

이기 때문이다.

콤팩트 수렴 정칙 함수열의 성질

연결 열린 집합 $D\subseteq ℂ$에 정의된 정칙 함수열 $f_n:D\to ℂ$가 함수 $f:D\to ℂ$로 콤팩트 수렴한다고 하자. (이 경우 $f$는 정칙 함수이다.) 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 $k$에 대하여, $f_n^{(k)}$ 역시 $f^{(k)}$로 콤팩트 수렴한다.

임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq D$를 취하자. 그렇다면,

$\tilde{K}=\{z\in D:d(z,K)\le d(K,\partial D)/2\}$

역시 콤팩트 집합이므로, $f_n$은 $\tilde{K}$에서 $f$로 균등 수렴한다. 또한, 코시 부등식에 의하여, 임의의 $z\in K$에 대하여,

$|f_n^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|\le \frac{k!}{d(K,\partial \tilde{K}{)}^k}\underset{z\in \tilde{K}}{\sup }|f_n(z)-f(z)|$

이다. 따라서, $f_n^{(k)}$는 $K$에서 $f^{(k)}$로 균등 수렴한다.

리우빌 정리

리우빌 정리에 따르면, 모든 유계 전해석 함수는 상수 함수이다.

유계 전해석 함수 $f:ℂ\to ℂ$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 코시 부등식에 의하여, 임의의 $z_0\in ℂ$ 및 $r>0$에 대하여,

$|f^{\prime }(z_0)|\le \frac{1}{r}\underset{z\in ℂ}{\sup }|f(z)|$

이므로,

$|f^{\prime }(z_0)|\le \underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{r}\underset{z\in ℂ}{\sup }|f(z)|=0$

이다. 즉, 임의의 $z_0\in ℂ$에 대하여, $f^{\prime }(z_0)=0$이며, 따라서 $f$는 상수 함수이다.

역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.

참고 문헌

• 강승필, 『해설 복소함수론』, 경문사, 2007

외부 링크

• 틀:Eom