케일리-멩거 행렬식

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 케일리-멩거 행렬식(-行列式, 틀:Llang)은 단체의 초부피를 나타내는 데 쓰이는 행렬식이다.

정의

음이 아닌 정수 $n$ 에 대하여, $n$ 번째 케일리-멩거 행렬식 $M_{n}$ 은 다음과 같은 $(n + 2) \times (n + 2)$ 행렬식으로 나타낸 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 변수 다항식이다.^[1]틀:Rp

M_{n} (x_{i j} : 0 \leq i < j \leq n) = | \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & x_{01}^{2} & x_{02}^{2} & \dots & x_{0 n}^{2} \\ 1 & x_{01}^{2} & 0 & x_{12}^{2} & \dots & x_{1 n}^{2} \\ 1 & x_{02}^{2} & x_{12}^{2} & 0 & \dots & x_{2 n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{0 n}^{2} & x_{1 n}^{2} & x_{2 n} & \dots & 0 \end{matrix} |

케일리-멩거 행렬식 $M_{n}$ 은 대칭 다항식이다. 즉, 변수의 순열에 대하여 불변이다.

표수가 2가 아닌 체 위에서, 케일리-멩거 행렬식 $M_{n}$ 는 $2 n$ 차 동차 다항식이다.^[2]틀:Rp

표수가 2가 아닌 체 위에서, 케일리-멩거 행렬식 $M_{n}$ 이 기약 다항식일 필요충분조건은 $n \neq 2$ 이다.^[2]틀:Rp

꼭짓점 $v_{0}, \dots, v_{n}$ 를 갖는 $ℝ^{n}$ 속 $n$ 차원 단체 $S$ 의 $n$ 차원 초부피 ${Vol}_{n} (S)$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{Vol}_{n} (S)^{2} = \frac{(- 1)^{n + 1}}{2^{n} (n!)^{2}} M_{n} (‖ v_{i} - v_{j} ‖ : 0 \leq i < j \leq n)

우변의 계수의 $n = 0, 1, 2, \dots$ 번째 값은 다음과 같다.

-1, 2, -16, 288, -9216, 460800, ... 틀:OEIS