중심화 부분 모노이드

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 중심화 부분 모노이드(中心化部分monoid, 틀:Llang)는 어떤 모노이드의 부분 집합과 가환하는 모든 원소로 구성된 부분 모노이드이다.

군의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 부분군을 이루며, 이 경우 이를 중심화 부분군(中心化部分群, 틀:Llang)이라고 한다. 마찬가지로, 환의 (곱셈 모노이드의) 중심화 부분 모노이드는 부분환을 이루며, 중심화 부분환(中心化部分環, 틀:Llang)이라고 한다. 이중 중심화 부분환의 개념은 폰 노이만 대수의 이론에 등장한다.

정의

모노이드 $M$의 부분 집합 $S\subseteq M$의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같은 $M$의 부분 집합이다.틀:Rp틀:Rp

${\mathrm{C}}_M(S)=\{x\in M:\mathrm{\forall }s\in S:sx=xs\}$

이는 $M$의 부분 모노이드를 이룬다. (함수해석학에서는 보통 이를 $(-{)}^{\prime }$으로 표기한다.)

$S$의 이중 중심화 부분 모노이드(틀:Llang) ${\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M(S))\subseteq M$은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.틀:Rp

성질

일반적 모노이드 $M$의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

${\mathrm{C}}_M(\varnothing )={\mathrm{C}}_M(\mathrm{Z}(M))=M$

${\mathrm{C}}_M(M)=\mathrm{Z}(M)$

$\mathrm{\forall }S\subseteq M:{\mathrm{C}}_M(S)={\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M(S)))$틀:Rp

$\mathrm{\forall }S\subseteq M:\mathrm{Z}(M)\subseteq {\mathrm{C}}_M(S)$

$\mathrm{\forall }S\subseteq M:{\mathrm{C}}_M(S)=\bigcap _{s\in S}{\mathrm{C}}_M(\{s\})$

$\mathrm{\forall }𝒮\subseteq \mathrm{Pow}(M):{\mathrm{C}}_M(\bigcup 𝒮)=\bigcap _{S\in 𝒮}{\mathrm{C}}_M(S)$틀:Rp

$\mathrm{\forall }S,T\subseteq M:S\subseteq T⟹{\mathrm{C}}_M(S)\supseteq {\mathrm{C}}_M(T)$

여기서 $\mathrm{Z}(-)$는 모노이드의 중심이다.

이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

${\mathrm{C}}_M(-):\mathrm{Pow}(M)\to \mathrm{Pow}(M{)}^{\mathrm{op}}$

를 이룬다. (여기서 $\mathrm{Pow}(M)$은 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며, $(-{)}^{\mathrm{op}}$은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)

이중 중심화 부분 모노이드

일반적 모노이드 $M$의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.

${\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M(\varnothing ))=\mathrm{Z}(M)$

${\mathrm{C}}_M(M))=M$

$\mathrm{\forall }S\subseteq M:S\subseteq {\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M(S))={\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M(S))))$

$\mathrm{\forall }𝒮\subseteq \mathrm{Pow}(M):{\mathrm{C}}_M\left({\mathrm{C}}_M(\bigcup 𝒮)\right)=\bigcup _{S\in 𝒮}{\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M(S))$

$\mathrm{\forall }S,T\subseteq M:S\subseteq T⟹{\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M(S))\subseteq {\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M(T))$

이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수

${\mathrm{C}}_M({\mathrm{C}}_M(-)):\mathrm{Pow}(M)\to \mathrm{Pow}(M)$

를 이룬다.

특히, 집합 $M\setminus \mathrm{Z}(M)$ 위에 폐포

$\mathrm{cl}(S)={\mathrm{C}}_M(S)\setminus \mathrm{Z}(M)(S\subseteq M\setminus \mathrm{Z}(M))$

를 정의하면, 이는 $M\setminus \mathrm{Z}(M)$ 위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.

군

군의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, 중심화 부분군이라고 한다.

군 $G$의 부분 집합 $S$의 중심화 부분군은 항상 $S$의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.

$\mathrm{Z}(G)⊴{\mathrm{C}}_G(S)⊴{\mathrm{N}}_G(S)$

여기서 $\mathrm{Z}(-)$는 군의 중심이며, ${\mathrm{N}}_G(-)$는 정규화 부분군이다.

군 $G$의 부분군 $H\le G$의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은 $H$의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 (N/C 정리, 틀:Llang).

${\mathrm{N}}_G(H)/{\mathrm{C}}_G(H)\lesssim \mathrm{Aut}(H)$

여기서 $\mathrm{Aut}(-)$는 자기 동형군이다.

한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.

${\mathrm{C}}_G(\{g\})={\mathrm{N}}_G(\{g\})\mathrm{\forall }g\in G$

군 $G$의 부분군 $H\le G$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $H={\mathrm{C}}_G({\mathrm{C}}_G(H))$. 즉, $H$는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다.
• $H={\mathrm{C}}_G(S)$가 되는 부분 집합 $S\subseteq G$가 존재한다. 즉, $H$는 중심화 부분군 연산의 상에 속한다.

임의의 두 군 $H$, $K$ 및 군 준동형

$\varphi :K\to \mathrm{Aut}(H)$

에 대하여, 반직접곱 $H{⋊}_{\varphi }K$ 및 포함 사상 $H,K\subseteq H{⋊}_{\varphi }K$을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.

${\mathrm{C}}_{H{⋊}_{\varphi }K}(K)\cap H={\mathrm{N}}_{H{⋊}_{\varphi }K}(K)\cap H$

${\mathrm{C}}_{H{⋊}_{\varphi }K}(H)\cap K=\ker \varphi$

환

환 $R$의 부분 집합 $S\subseteq R$의 (곱셈에 대한) 가환식 $S^{\prime }\subseteq R$는 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다. 이를 중심화 부분환(中心化部分環, 틀:Llang)이라고 한다.

임의의 나눗셈환 $K$의 임의의 부분 집합 $S\subseteq K$에 대하여, 중심화 부분환 ${\mathrm{C}}_K(S)$ 역시 나눗셈환이다.

증명:

${\mathrm{C}}_K(S)$는 부분환이므로, 가역원에 대하여 닫혀 있음을 보이면 족하다. 임의의 $a\in {\mathrm{C}}_K(S)\setminus \{0\}$ 및 $s\in S$에 대하여, $a^{-1}s=a^{-1}sa{a}^{-1}=a^{-1}as{a}^{-1}=s{a}^{-1}$이다.

가군

틀:본문 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 환 $R$
• 환 $S$
• $(R,S)$-쌍가군 ${}_R{M}_S$

그렇다면, $S$-오른쪽 가군의 자기 사상환

$\mathrm{End}(M_S)$

을 정의할 수 있으며, $M$은 $\mathrm{End}(M_S)$-왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 자연스러운 환 준동형

${\varphi }_M:R\to \mathrm{End}(M_S)$

${\varphi }_{M}r:m\mapsto rm(r\in R,m\in M)$

이 존재한다. 이 경우, 정의에 따라

${\mathrm{C}}_{\mathrm{End}(M_{\mathbb{Z}})}({\varphi }_M(R))=\mathrm{End}(M_R)$

이다. (여기서 우변은 $R$-오른쪽 가군의 자기 사상환이다.)

만약 ${\varphi }_M(R)$가 이중 중심화 부분환 연산의 고정점이라면, 즉 만약

${\mathrm{C}}_{\mathrm{End}(M_{\mathbb{Z}})}({\mathrm{C}}_{\mathrm{End}(M_{\mathbb{Z}})}({\varphi }_M(R)))={\varphi }_M(R)$

이라면, $M$을 균형 잡힌 가군이라고 한다.

폰 노이만 대수

틀:참고 복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 유계 작용소 폰 노이만 대수 $\mathrm{B}(V,V)$의 부분 대합 대수 $S\subseteq \mathrm{B}(V,V)$를 생각하자. (즉, $S$는 복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, 폰 노이만 이중 중심화 정리(틀:Llang)에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다.

• $S$의 이중 중심화 부분환 ${\mathrm{C}}_{\mathrm{B}(V,V)}({\mathrm{C}}_{\mathrm{B}(V,V)}(S))$
• $S$의 약한 작용소 위상에서의 폐포
• $S$의 강한 작용소 위상에서의 폐포
• $S$로부터 생성되는 폰 노이만 대수

(다만, $S$의 노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.)

예

만약 $M$이 가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합 $S\subseteq M$에 대하여 $S^{\prime }=M$이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다.

만약 $M={\mathrm{\Sigma }}^{*}$가 $\mathrm{\Sigma }$로 생성되는 자유 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다.

${\mathrm{C}}_{{\mathrm{\Sigma }}^{*}}(S)=\{s\in {\mathrm{\Sigma }}^{*}:\{s{\}}^{*}\supseteq S{\}}^{*}$

사원수 대수 $ℍ$에서, $\mathrm{i}$의 중심화 부분환은 $ℝ+ℝi$이다. 보다 일반적으로, 임의의 $x\in ℍ$에 대하여, $\mathrm{Im}x=(x-\overline{x})/2$를 생각하면, ${\mathrm{C}}_{ℍ}(\{x\})=ℝ+ℝ\mathrm{Im}x$이다. 만약 $\mathrm{Im}x\ne 0$이라면 ${\mathrm{C}}_{ℍ}(\{x\})$는 (환으로서) 복소수체와 동형이다.

외부 링크

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