준마팅게일

틀:위키데이터 속성 추적 확률론에서 준마팅게일(準martingale, 틀:Llang)은 국소 마팅게일과 유계 변동 확률 과정의 합이다. 준마팅게일 조건은 이토 적분이 잘 정의될 필요 충분 조건이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, $(Ω, ℱ_{t}, \Pr)_{t \in [0, \infty)}$ 위의 마팅게일의 개념을 정의할 수 있다. 이는 순응 확률 과정의 일종이다.

$(Ω, ℱ_{t}, \Pr)_{t \in [0, \infty]}$ 위의 과정 $(X_{t})_{t \in [0, \infty)}$ 에 대하여, 만약 어떤 정지 시간의 열

(τ_{i} : Ω \to [0, \infty))_{i \in ℕ}

이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 국소 마팅게일이라고 한다.

순응 확률 과정 $(X_{t})_{t \in [0, \infty)}$ 이 다음과 같은 꼴을 갖는다면, 준마팅게일이라고 한다.

어떤 국소 마팅게일 $(M_{t})_{t \in [0, \infty)}$ 과 거의 확실하게 국소 유계 변동 함수이자 카들라그 함수인 확률 과정 $(A_{t})_{t \in [0, \infty)}$ 의 합 $X = M + A$ 으로 표현될 수 있다. (즉, 임의의 $0 \leq T < \infty$ 에 대하여, $(A_{t})_{t \in [0, T]}$ 는 거의 확실하게 유계 변동 함수이다.)

임의의 매끄러운 다양체 $M$ 이 주어졌다고 하자. $M$ 값의 확률 과정

(X_{t} : Ω \to M)_{t \in [0, \infty)}

이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 매끄러운 함수 $f : M \to ℝ$ 에 대하여 $f (X_{t})$ 가 준마팅게일이라면, $X_{t}$ 를 준마팅게일이라고 한다.

임의의 전단사 증가 함수

f : [0, \infty) \to [0, \infty)

가 주어졌다고 하자. 만약 $X_{t}$ 가 준마팅게일이라면, $X_{f (t)}$ 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 임의의 정지 시간에 대한 정지화 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 합과 곱 역시 준마팅게일이다. 보다 일반적으로, 준마팅게일의 $𝒞^{2}$ 함수에 대한 값은 준마팅게일이다.

τ = \inf {t : W_{t} \geq 1}

을 생각하자. 그렇다면,

X_{t} = {\begin{matrix} W_{t / (1 - t)}^{| τ} & 0 \leq t < 1 \\ 1 & 1 \leq t \end{matrix}

를 생각하자. 이는 거의 확실하게 연속 함수이지만, $t = 1$ 에서 마팅게일이 아니다. 그러나 이는 국소 마팅게일이며, 따라서 준마팅게일이다.