정지 시간

틀:위키데이터 속성 추적 확률 과정 이론에서, 정지 시간(停止時間, 틀:Llang) 또는 마르코프 순간(Марков瞬間, 틀:Llang)은 어떤 여과 확률 공간과 호환되는 성질을 갖는, 지표 집합의 원소(‘시각’)의 값을 갖는 확률 변수이다. 대략, 정지 시간이 ‘지났는지’ 여부는 (여과 확률 공간에 의하여 주어진) 이 시간 이전에 알려진 정보만으로 확인할 수 있어야 한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 상계 $\mathrm{\infty }\in T$를 갖는 전순서 집합 $(T,\le )$
• 여과 확률 공간 $(\mathrm{\Omega },{ℱ}_t,\mathrm{Pr}{)}_{t\in T}$

이 데이터의 정지 시간은 다음 조건을 만족시키는 함수

$\tau :\mathrm{\Omega }\to T$

이다.

$\mathrm{\forall }t\in T:\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\tau (\omega )\le t\}\in {ℱ}_t$

다시 말해, $\tau \le t$인 사건이 발생하였는지 여부는 시각 $t\in T$에서 알려진 정보 ${ℱ}_t$만으로 확인할 수 있어야 한다.

정의에 따라, $T$에 순서 위상의 보렐 가측 공간 구조를 부여하면, 이는 확률 변수

$\tau :(\mathrm{\Omega },{ℱ}_{\mathrm{\infty }},\mathrm{Pr})\to T$

를 정의한다.

확률 과정의 정지 시간이란 그 자연 여과 확률 공간에 대한 정지 시간을 뜻한다.

정지 과정

다음이 주어졌다고 하자.

• 상계 $\mathrm{\infty }\in T$를 갖는 전순서 집합 $(T,\le )$
• 여과 확률 공간 $(\mathrm{\Omega },{ℱ}_t,\mathrm{Pr}{)}_{t\in T}$
• $({ℱ}_t{)}_{t\in T}$-정지 시간 $\tau :\mathrm{\Omega }\to T$
• 가측 공간 $S$
• $({ℱ}_t{)}_{t\in T}$-순응 확률 과정 $(X_t:\mathrm{\Omega }\to S{)}_{t\in T}$

그렇다면, $X$의 $\tau$에 대한 정지 과정(停止過程, 틀:Llang)은 다음과 같은 순응 확률 과정이다.

$X_t^{\tau }:\mathrm{\Omega }\to S$

$X_t^{\tau }:\omega \mapsto X_{\min \{t,\tau (\omega )\}}(\omega )=\{\begin{array}{cc}{X}_t& t\le \tau (\omega )\\ X_{\tau (\omega )}& t\ge \tau (\omega )\end{array}$

이는 흔히

$X_t^{\tau }=X_{\min \{t,\tau \}}$

와 같이 표기된다.

예

$0\in ℝ$에서 시작하는 표준 위너 확률 과정 $(W_t:\mathrm{\Omega }\to ℝ{)}_{t\in [0,\mathrm{\infty }]}$을 생각하자. $S\subseteq ℝ$가 임의의 실수 보렐 집합이라고 하자. 그렇다면, 확률 변수

${\tau }_S:[0,\mathrm{\infty }]$

${\tau }_S(t)=\inf \{t\in T:W_t(\omega )\in S\}$

를 정의할 수 있다. 이는 $W$의 자연 여과 확률 공간에 대한 정지 시간을 이룬다.

외부 링크

• 틀:Eom