절단점

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숫자 8 모양의 도형의 목 부분은 차수 2의 절단점이다.

일반위상수학에서 절단점(切斷點, 틀:Llang)은 연결 공간을 연결되지 않은 둘 이상의 부분들로 분리하는 점이다.[1][2]

정의

연결 공간 X의 점 x∈X의 절단점 차수(切斷點次數, 틀:Llang)는 X∖{x}의 연결 성분들의 수이다. 연결 공간 X의 점 x∈X의 절단점 차수가 2 이상이라면 (다시 말해, X∖{x}가 비연결 공간이라면), x를 X의 절단점이라고 한다. 절단점 공간(切斷點空間, 틀:Llang)은 모든 점이 절단점인 연결 공간이다.

연결 공간 X가 다음 조건을 만족시키면, 연결 순서 위상 공간(連結順序位相空間, 틀:Llang) 또는 COTS라고 한다.

  • 임의의 세 원소 부분집합 S⊆X에 대하여, S∖{s}의 두 원소가 X∖{s}의 서로 다른 두 연결 성분에 속하게 되는 s∈S가 존재한다.

위상 공간 X에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 두 점 x,y∈X가 존재한다면, X를 끝점 공간(-連結空間, 틀:Llang)이라고 한다.

  • 임의의 z∈X∖{x,y}에 대하여, x∈U∌y인 X∖{z}의 열린닫힌집합 U⊆X∖{z}가 존재한다.

성질

연결 공간의 모든 절단점은 한원소 집합으로서 열린집합이거나 닫힌집합이다. 즉, 고립점이거나 ‘닫힌 점’이다.[2]틀:Rp 틀:증명 연결 공간 X의 절단점 x∈X가 주어졌다고 하자. 그렇다면 X∖{x}의 열린닫힌집합 ∅⊊A⊊X∖{x}가 존재하며, 이에 대하여

A=U∖{x}=F∖{x}

인 X의 열린집합 U 및 닫힌집합 F가 존재한다. X가 연결 공간이므로 U≠F일 수밖에 없다. 따라서 {x}=U∖F이거나 {x}=F∖U이다. 만약 {x}=U∖F가 참이라면 {x}는 열린집합이다. 만약 {x}=F∖U가 참이라면 {x}는 닫힌집합이다. 틀:증명 끝 크기 2 이상의 절단점 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

틀:증명 크기 2 이상의 절단점 공간 X가 주어졌다고 하자. 서로 다른 닫힌 점 x1,x2,x3,…∈X를 구성하면 족하다. 수학적 귀납법을 사용하여, n−1개의 열린집합 U1,…,Un−1⊆X 및 n−1개의 열린집합 V1,…,Vn−1⊆X 및 서로 다른 n−1개의 닫힌 점 x1,…,xn−1∈X가 주어졌으며, 또한

∀i∈{1,…,n−1}:X∖{xi}=Ui∪Vi
∀i∈{1,…,n−1}:Ui∩Vi=∅≠Ui,Vi
∀i∈{2,…,n−1}:xi∈Ui−1
U1⊇U2⊇⋯⊇Un−1

이라고 하자. 그렇다면, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

Vn−1∪{xn−1}은 연결 공간. 귀류법을 사용하여, 열린닫힌집합 ∅⊊V⊊Vn−1∪{xn−1}이 주어졌다고 하자. 편의상 xn−1∉V라고 하자. (만약 xn−1∈V라면 V를 그 여집합 (Vn−1∪{xn−1})∖V로 대체한다.) V가 Vn−1의 열린집합이며, Vn−1는 X의 열린집합이므로, V는 X의 열린집합이다. 마찬가지로, V가 Vn−1∪{xn−1}의 닫힌집합이며, Vn−1∪{xn−1}=X∖Un−1가 X의 닫힌집합이므로, V는 X의 닫힌집합이다. 이는 X의 연결성과 모순이다.

닫힌 점 xn∈Un−1이 존재. 귀류법을 사용하여, Un−1 속에 닫힌 점이 없다고 하자. 임의의 x∈Un−1에 대하여, {x}가 닫힌집합이 아니며, Un−1∪{xn−1}이 닫힌집합이며, Un−1은 고립점들로 이루어지므로, xn−1∈cl⁡{x}이다. 따라서 {x,xn−1}은 연결 공간이다. Vn−1∪{xn−1} 역시 연결 공간이므로, x′∈Un−1에 대하여,

X∖{x′}=Vn−1∪{xn−1}∪⋃x′≠x∈Un−1{x,xn−1}

은 연결 공간이다. 즉, x′은 절단점이 아니며, 이는 모순이다.

X∖{xn}=Un∪Vn이며 Un∩Vn=∅≠Un,Vn이며 xn−1∈Vn인 X의 열린집합 Un,Vn가 존재. 이는 xn이 닫힌 절단점이며, xn−1≠xn이기 때문이다. 만약 xn−1∈Un이라면 Un과 Vn을 교환한다.

Un⊆Un−1. Un∪{xn}이 연결 공간이며, Un∪{xn}⊆X∖{xn−1}이므로, Un∪{xn}⊆Un−1이거나 Un∪{xn}⊆Vn−1인데, xn∈Un−1이다. 따라서 Un∪{xn}⊆Un−1이다.

xn∉{x1,…,xn−1}. 임의의 i∈{1,…,n−1}에 대하여, xi∉Ui이므로 xi∉Un−1이며, 또한 xn∈Un−1이다. 따라서 xn≠xi이다. 틀:증명 끝 틀:증명 1개 이하의 비절단점을 갖는, 크기 2 이상의 연결 공간 X가 콤팩트 공간이 아님을 보이면 족하다. X의 절단점의 집합은 X 전체이거나, 어떤 한 비절단점의 여집합이므로, 연결 공간이다. 따라서, 닫힌 절단점 x0∈X가 존재한다. A,B⊆X가 열린집합이며, 또한 X∖{x0}=U∪V이며 U∩V=∅이며 U,V≠∅이라고 하자. 그렇다면, U와 V 가운데 적어도 한 집합은 절단점으로 이루어진다. 편의상 U의 모든 점이 절단점이라고 하자. 이제,

𝒮={W∈Open⁡(X):V⊆W∧|cl⁡W∖W|=1∧cl⁡W≠X}

라고 하고, 𝒮 위에 다음 부분 순서를 주자.

W≤W′⟺W=W′∨cl⁡W⊆W′

그렇다면, 다음 명제들을 차례로 보이는 것으로 족하다.

𝒮는 극대 사슬 𝒞≠∅를 가짐. X가 연결 공간이므로 V는 닫힌집합이 아니며, U가 열린집합이므로 V∪{x0}은 닫힌집합이다. 따라서 cl⁡V=V∪{x0}이며, V∈𝒮이다. 하우스도르프 극대 원리에 따라 극대 사슬 ∅≠𝒞⊆𝒮가 존재한다.

𝒮는 극대 원소를 갖지 않음. 임의의 W∈𝒮가 주어졌다고 하고, cl⁡W∖W={yW}라고 하자. 그렇다면, 닫힌 점 zW∈X∖cl⁡W가 존재한다고 단언한다. X∖cl⁡W의 모든 점이 닫힌 점이 아니라고 가정하자. 임의의 y∈X∖cl⁡W에 대하여, {y}은 닫힌집합이 아니며 (X∖cl⁡W)∪{yW}=X∖W는 닫힌집합이며 X∖cl⁡W의 모든 점은 고립점이므로, cl⁡{yW}={yW,y}이며, 따라서 {yW,y}는 연결 공간이다. 임의의 ∅⊊A⊊cl⁡W에 대하여, A는 X의 열린닫힌집합이 아니며, W와 cl⁡W는 각각 X의 열린집합과 닫힌집합이므로, A와 X∖A 가운데 W에 속하는 한 집합은 cl⁡W의 열린닫힌집합이 아니다. 즉, cl⁡W는 연결 공간이다. 따라서, 임의의 y′∈X∖cl⁡W를 취했을 때,

X∖{y′}=cl⁡W∪⋃y′≠y∈X∖cl⁡W{yW,y}

는 연결 공간이다. 즉, y′은 절단점이다. 이는 y′∈U인 것과 모순이다. 이제, zW가 닫힌 절단점이므로, W′,W″이 X의 열린집합이며, X∖{zW}=W′∪W″이며 W′∩W″=∅≠W′,W″이라고 하자. cl⁡W⊆X∖{zW}가 연결 공간이므로, cl⁡W⊆W′이거나 cl⁡W⊆W″이다. 편의상 전자가 참이라고 하자. 그렇다면, V⊆W′이며 cl⁡W′=W′∪{zW}이므로, W′∈𝒮이다. 즉, W<W′이며, W는 극대 원소가 아니다.

⋃𝒞는 콤팩트 공간이 아님. 열린 덮개 𝒞가 유한 부분 덮개를 갖지 않음을 보이면 족하다. 𝒞가 극대 원소를 갖지 않음을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, W∈𝒞가 𝒞의 극대 원소라고 하자. 그렇다면, W<W′인 W′∈𝒮가 존재한다. 그렇다면 𝒞∪{W′}은 새로운 사슬이며, 𝒞는 그 진부분집합이다. 이는 𝒞의 극대성과 모순이다.

⋃𝒞=X. 귀류법을 사용하여, X∖⋃𝒞가 공집합이 아니라고 하자. X∖⋃𝒞⊆U이므로, X∖⋃𝒞의 모든 점은 절단점이며, 따라서 고립점이거나 닫힌 점이다. X∖⋃𝒞는 닫힌집합이므로, 열린집합일 수 없으며, 따라서 닫힌 절단점 x1∈X∖⋃𝒞가 존재한다. G,H가 X의 열린집합이며, X∖{x1}=G∪H이며, G∩H=∅≠G,H라고 하자. 임의의 W∈𝒞는 𝒞의 극대 원소가 아니므로, cl⁡W⊆W′인 W′∈𝒞가 존재한다. 따라서,

⋃𝒞=⋃W∈𝒞cl⁡W

이다. 각 cl⁡W는 연결 공간이며, V⊆cl⁡W이므로, ⋃𝒞는 연결 공간이다. 따라서, ⋃𝒞⊆G이거나 ⋃𝒞⊆H이다. 편의상 전자가 참이라고 하면, V⊆G이며 cl⁡G=G∪{x1}이므로, G∈𝒮이다. 𝒞가 극대 원소를 갖지 않으므로, G∉𝒞이다. 이는 𝒞의 극대성과 모순이다. 틀:증명 끝

예

유클리드 평면 ℝ2 속의 n개의 직선이 절단점 공간일 필요충분조건은, 공점선이거나, n−1개의 직선이 평행하며 남은 한 직선과 교차하는 것이다.

실수

실수선 ℝ는 절단점 공간이며, 모든 점의 절단점 차수는 2이다. 반대로, 다음 결과들이 성립한다.

2차원 이상의 유클리드 공간 ℝn (n≥2)은 연결 공간이지만, 절단점을 갖지 않는다.

기약 절단점 공간

정수 집합 ℤ 위에 다음과 같은 위상을 부여한 위상 공간을 칼림스키 직선(-直線, 틀:Llang)이라고 한다.

즉, 칼림스키 직선의 위상은 다음과 같은 기저로 생성된다.

ℬ={{2i+1}:i∈ℤ}∪{{2i−1,2i,2i+1}:i∈ℤ}

기약 절단점 공간(旣約切斷點空間, 틀:Llang)은 모든 진부분집합이 절단점 공간이 아닌 절단점 공간이다. 칼림스키 직선은 기약 절단점 공간이며, 반대로 기약 절단점 공간은 칼림스키 직선과 위상동형이다.[2]틀:Rp 즉, 칼림스키 직선은 위상동형 아래 유일한 기약 절단점 공간이다. 틀:증명 칼림스키 직선 ℤ는 연결 공간. 짝수 n∈ℤ에 대하여, {n−1,n,n+1}은 n의 최소 근방이므로, {n−1,n}과 {n,n+1}은 연결 공간이다. 수학적 귀납법에 따라, 1≤n∈ℤ에 대하여,

{−n,−n+1,−n+2,…,n}={−n,−n+1}∪{−n+1,−n+2}∪⋯∪{n−1,n}

은 연결 공간이며, 따라서 칼림스키 직선

ℤ=⋃1≤n∈ℤ{−n,−n+1,−n+2,…,n}

은 연결 공간이다.

모든 n∈ℤ는 절단점. 이는 {k∈ℤ:k<n}과 {k∈ℤ:k>n}이 모두 ℤ∖{n}의 열린집합이기 때문이다.

모든 진부분집합 A⊊ℤ는 연결 공간이 아니거나, 비절단점을 가짐. 칼림스키 직선 ℤ의 연결 진부분공간은 다음 세 가지 꼴 가운데 하나이다 (m,n∈ℤ).

  • {k∈ℤ:k≤n}
  • {k∈ℤ:k≥n}
  • {k∈ℤ:m≤k≤n}

A가 연결 공간이라고 하자. 즉, A는 어떤 m,n∈ℤ에 대하여 위 세 집합 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, A∖{n} 역시 위 세 가지 꼴 가운데 하나이며, 따라서 연결 공간이다. 즉, n은 A의 비절단점이다. 틀:증명 끝 틀:증명 기약 절단점 공간 X가 주어졌다고 하자. 기약성에 따라, 칼림스키 직선 ℤ에서 X로 가는 매장 i↦xi를 구성하면 족하다. 우선, 모든 점 x∈X의 절단점 차수는 2라고 단언한다. ∅⊊A⊊X∖{x}가 X∖{x}의 열린닫힌집합이라고 하자. A와 X∖A가 연결 공간임을 보이면 족하다. 전자만을 증명한다. 귀류법을 사용하여, A가 연결 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, x는 A∪{x}의 절단점이다. 임의의 y∈A에 대하여,

X∖{y}=((A∪{x})∖{y})∪((X∖A)∪{x})

는 연결 공간이 아니며, x∈((A∪{x})∖{y})∩((X∖A)∪{x})이므로, (A∪{x})∖{y}와 (X∖A)∪{x} 가운데 하나 이상은 연결 공간이 아니다. 그런데 (X∖A)∪{x}가 연결 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 (A∪{x})∖{y}는 연결 공간이 아니며, y 역시 A∪{x}의 절단점이다. 즉, A∪{x}는 절단점 공간이다. 이는 기약 절단점 공간 조건과 모순이다.

이제, 닫힌 점 x0∈X을 취하자. A0와 B0이 X∖{x0}의 두 연결 성분이라고 하자. 수학적 귀납법을 사용하여,

x−n+1,x−n+2,…,xn−1⊆X

가 주어졌으며, 또한 각 −n+1<i≤n−1에 대하여, {xi−1,xi}가 연결 공간이라고 하자. 또한, 각 X∖{xi}의 두 연결 성분이 Ai와 Bi라고 하고, −n+1≤i<0인 경우 x0∈Bi이며, 0<i≤n−1인 경우 x0∈Ai라고 하자. 그렇다면, {x−n,x−n+1}과 {xn−1,xn}이 연결 공간인 x−n∈A−n+1 및 xn∈Bn−1이 존재한다고 단언한다. 후자를 증명한다. {xn−1}의 극한점 xn∈Bn−1을 찾으면 족하다. 만약 xn−1이 닫힌 점이라면, Bn−1이 연결 공간이며, X가 기약 절단점 공간이므로, Bn−1은 비절단점 xn∈Bn−1을 갖는다. 즉, Bn−1∖{xn}은 연결 공간이다. Bn−1은 열린집합이므로, 닫힌집합이 아니며, Bn−1∪{xn−1}은 닫힌집합이므로, xn−1은 Bn−1의 극한점이다. 하지만 X∖{xn}=(Bn−1∖{xn})∪(An−1∪{xn−1})이 연결 공간이 아니므로, xn−1은 Bn−1∖{xn}의 극한점일 수 없다. 따라서, xn−1은 {xn}의 극한점이다. 만약 xn−1이 고립점이라면, Bn−1은 닫힌집합이므로, 열린집합이 아니며, Bn−1∪{xn−1}은 열린집합이므로, xn∈Bn−1∖int⁡Bn−1은 {xn−1}의 극한점이다. 수학적 귀납법의 마지막으로, A−n과 B−n이 X∖{x−n}의 두 연결 성분이며, An과 Bn이 X∖{xn}의 두 연결 성분이며, x0∈B−n이며 x0∈An이라고 정의한다.

이제, 수학적 귀납법에 따라 구성된 부분집합

{…,x−2,x−1,x0,x1,x2,…}⊆X

및 각 X∖{xn}의 두 연결 성분 An과 Bn을 생각하자. 정의에 따라 n<0인 경우 x0∈Bn이며, n>0인 경우 x0∈An이다. 이제, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

xi∈An⟺i<n, xi∈Bn⟺i>n. 편의상 n>0이라고 하자. 그렇다면,

{xi:i<n}=⋃k<n({xk−1,xk}∪{xk,xk+1}∪⋯∪{xn−2,xn−1})
{xi:i>n}=⋃k>n({xn+1,xn+2}∪{xn+2,xn+3}∪⋯∪{xk,xk+1})

은 둘 다 연결 공간이며, x0∈An이며 xn+1∈Bn이므로, {xi:i<n}⊆An이며 {xi:i>n}⊆Bn이다.

각 xn은 n이 짝수인 경우 닫힌 점, n이 홀수인 경우 고립점. 정의에 따라 x0은 닫힌 점이다. 만약 {xn}이 닫힌집합이라면, {xn−1,xn}와 {xn,xn+1}이 연결 공간이므로, {xn−1}과 {xn+1}은 닫힌집합이 아니며, 따라서 열린집합이다. 마찬가지로, 만약 {xn}이 열린집합이라면, {xn−1}과 {xn+1}은 닫힌집합이다.

부분집합 {xi:i∈ℤ}은 기저

ℬ′={{x2i+1}:i∈ℤ}∪{{x2i−1,x2i,x2i+1}:i∈ℤ}

를 가짐. 홀수 n에 대하여, xn이 고립점임은 이미 증명하였다. 짝수 n에 대하여, xn은 {xn−1}과 {xn+1}의 극한점임을 증명하였으므로, xn의 모든 열린 근방은 xn−1과 xn+1을 원소로 포함한다. 반대로, An과 Bn이 열린집합이므로,

{xn−1,xn,xn+1}={xi:i∈ℤ}∩An∩Bn

은 열린집합이다. 따라서, {xn−1,xn,xn+1}은 xn의 최소 열린 근방이다. 틀:증명 끝

모든 점의 차수가 3인 절단점 공간

모든 점의 차수가 3인 절단점 공간이 존재한다. 그러나, 모든 점의 차수가 3 이상인 절단점 공간은 분해 가능 거리화 가능 공간일 수 없으며, 특히 유클리드 공간에 매장될 수 없다. 구체적으로, 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간 X는 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, 다음과 같은 집합 M⊆ℝ2을 만들자.

  • 수평 개구간 (0,1)×{0}에서 시작한다.
  • 각 이진 유리점 ((2m−1)/2n,0)∈(0,1)×{0} 위에 수직 개구간 {(2m−1)/2n}×(0,1/2n)을 덧붙인다.
  • 덧붙여진 수직 개구간의 이진 유리점 ((2m−1)/2n,(2i−1)/2j)의 오른쪽에 수평 개구간 ((2m−1)/2n,(2m−1)/2n+1/2j)×{(2i−1)/2j}를 덧붙인다.
  • 위와 같은 과정을 계속 반복한다. 새로운 구간은 마지막 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합과 위에서 설명한 처음 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합이 닮음이도록 시계 방향으로 돌며 추가한다.

그렇다면, M의 모든 이진 유리점의 절단점 차수는 3이며, 그 밖의 점들의 절단점 차수는 2이다. 이들의 집합을 각각 ct3(M)과 ct2(M)=M∖ct3(M)이라고 하자. 이제,

X=ct2(M)*×M=M∪ct2(M)×M∪ct2(M)×ct2(M)×M∪⋯

라고 하자 ((−)*는 클레이니 스타). 또한, x=(x1,…,xn)∈X 및 ϵ>0에 대하여, 다음 집합을 정의하자.

R(x,ϵ)={{(x1,…,xn−1)}×(ballℝ2(xn,ϵ)∩ct3(M))xn∈ct3(M){x}∪{(x1,…,xn−1)}×(ballℝ2(xn,ϵ)∩ct3(M))∪{x}×(ballℝ2(0,ϵ)∩ct3(M))xn∈ct2(M)

그렇다면,

{R(x,ϵ):x∈X∧ϵ>0}

은 X 위의 기저를 이루며, 이 기저로 생성되는 위상을 부여한 위상 공간 X은 다음 성질들을 만족시킨다.[1]

참고 문헌

틀:각주

  1. ↑ 1.0 1.1 틀:저널 인용
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 틀:저널 인용
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