적분 판정법

조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 틀:수학, 틀:수학 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.

틀:미적분학 미적분학에서 적분 판정법(積分判別法, 틀:Lang)은 음이 아닌 실수 항 급수와 음이 아닌 실수 값 함수의 이상 적분의 수렴성 사이의 관계를 나타내는 수렴 판정법이다.

정의와 증명

음이 아닌 실수 값 감소함수

$f:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$

$\mathrm{\forall }x,y\in [0,\mathrm{\infty }):x\le y⟹f(x)\ge f(y)$

가 주어졌다고 하자. (특히, $f$는 임의의 $[0,a]\subseteq [0,\mathrm{\infty })$에서 리만 적분 가능하다.) 적분 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp틀:Rp

• 급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)$는 수렴한다.
• 이상 적분 $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$은 수렴한다.

또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)\le f(0)+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

틀:증명 음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의 $n\in \{0,1,2,\dots \}$ 및 $n\le x\le n+1$에 대하여,

$f(n+1)\le f(x)\le f(n)$

이다. $[n,n+1]$ 위의 리만 적분을 취하면

$f(n+1)\le \underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx\le f(n)$

이 된다. $n\in \{0,1,2,\dots \}$에 대한 급수를 취하면

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\le \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)$

이 된다. 이는

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^n\underset{i}{\overset{i+1}{\int }}f(x)dx\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx\end{array}$

임에 따른다. 따라서, 만약

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)<\mathrm{\infty }$

라면

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)<\mathrm{\infty }$

이며, 만약

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty }$

라면

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)=f(0)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\le a_0+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty }$

이다. 즉, 수렴 여부가 동치다. 틀:증명 끝

예

급수

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}(p\in ℝ)$

를 생각하자. (혹자는 이를 p-급수(틀:Llang)라고 부른다.) 만약 $p\le 0$이라면, 이 급수는 자명하게 발산한다. 이제, $p>0$이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 이 급수의 수렴 여부는 다음 이상 적분이 수렴하는지 여부와 동치이다.

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x^p}$

만약 $p=1$이라면,

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln x-\ln 1)=\mathrm{\infty }$

이다. 만약 $p\ne 1$이라면,

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x^p}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t^p}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{x^{1-p}}{1-p}-\frac{1}{1-p})=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& p<1\\ 1/(p-1)& p>1\end{array}$

이다. 따라서, 이 급수는 $p>1$일 때 수렴하며, $p\le 1$일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 급수의 $p$에 따른 수렴 여부에 기반한다.

보다 일반적으로, 급수

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p{\ln }^{q}n}(p,q\in ℝ)$

를 생각하자. 이전 예 및 비교 판정법에 의하여, 이 급수는 $p>1$일 때 수렴하며, $p<1$일 때 발산한다. 이제 $p=1$이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분

$\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x{\ln }^{q}x}$

의 수렴 여부와 같다. 이는

$(x^{-1}{\ln }^{-q}x{)}^{\prime }=-x^{-2}{\ln }^{-q}x+x^{-1}(-q){\ln }^{-q-1}x\cdot x^{-1}=-x^{-2}{\ln }^{-q-1}x(\ln x+q)<0(x\gg 1)$

임에 따른다. 만약 $q=1$이라면,

$\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x\ln x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t\ln t}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln \ln x-\ln \ln 2)=\mathrm{\infty }$

이다. 만약 $q\ne 1$이라면,

$\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x{\ln }^{q}x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t{\ln }^{q}t}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{{\ln }^{1-q}x}{1-q}-\frac{{\ln }^{1-q}2}{1-q})=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& q<1\\ -{\ln }^{1-q}2/(1-q)& q>1\end{array}$

이다. 따라서, 이 급수는 $p>1$이거나 $p=1$, $q>1$일 때 수렴하며, $p=1$, $q\le 1$이거나 $p<1$일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의 $(p,q)$에 따른 수렴 여부에 기반한다.

마찬가지로, 급수

$\sum _{n=\underset{k-1}{\underbrace{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{{\cdots }^{{\mathrm{e}}^2}}}}}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{p_0}(\ln n{)}^{p_1}\cdots (\underset{k}{\underbrace{\ln \cdots \ln }}n{)}^{p_k}}$

의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다. ${ℝ}^{k+1}$ 위의 사전식 순서를 $⪯$로 적을 때, 이 급수는 $(p_0,\dots ,p_k)\succ (1,\dots ,1)$일 때 수렴하며, $(p_0,\dots ,p_k)⪯(1,\dots ,1)$일 때 발산한다.

같이 보기

• 수렴판정법
• 비교 판정법
• 지배 수렴 정리
• 극한 비교 판정법
• 단조 수렴 정리

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki