극한 비교 판정법

틀:위키데이터 속성 추적 미적분학에서 극한 비교 판정법(極限比較判定法, 틀:Llang)은 음이 아닌 실수 항의 급수의 수렴 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 두 양항 급수의 항의 비가 0이 아닌 실수로 수렴한다면, 두 급수의 수렴 여부는 같다.

정의와 증명

두 양의 실수 항 급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$과 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$이 주어졌다고 하자 ($a_n,b_n>0\mathrm{\forall }n\ge 0$). 또한, 극한

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=L\in (0,\mathrm{\infty })$

가 존재하며, 0이 아닌 양의 실수라고 하자. 그렇다면, 두 급수는 둘 다 수렴하거나, 둘 다 발산한다. 이를 극한 비교 판정법이라고 한다. 틀:증명 극한 비교 판정법은 비교 판정법의 따름정리다. 가정에 따라, 충분히 큰 $n$에 대하여

$\frac{1}{2}L<\frac{a_n}{b_n}<2L$

이다. 즉, 충분히 큰 $n$에 대하여

$\frac{1}{2}L{b}_n<a_n<2L{b}_n$

이다. 만약 $\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴한다면, 비교 판정법에 따라 $\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}L{b}_n$ 역시 수렴하며, 따라서 $\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$은 수렴한다. 반대로, 만약 $\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$이 수렴한다면, $\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}2L{b}_n$ 역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라 $\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 역시 수렴한다. 즉, 두 급수의 수렴 여부는 동치다. 틀:증명 끝

보다 일반적으로, 두 음이 아닌 실수 항 $a_n,b_n\ge 0$의 급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$과 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 항상 상극한과 하극한

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}=L^{\prime }\in [0,\mathrm{\infty }]$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_n}{b_n}=L^{″}\in [0,\mathrm{\infty }]$

이 존재하며, 항상 $L^{″}\le L^{\prime }$이다. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• 만약 $L^{\prime }<\mathrm{\infty }$이며, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$이 수렴한다면, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 역시 수렴한다.
• 만약 $L^{″}>0$이며, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴한다면, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ 역시 수렴한다.

특히, 만약 $0<L^{″}\le L^{\prime }<\mathrm{\infty }$라면, 두 급수의 수렴 여부는 같다. 만약 극한 $L$이 존재한다면, $L=L^{\prime }=L^{″}$이다. 따라서 이는 이전 결과를 일반화한다. 틀:증명 덜 일반적인 결과의 증명과 마찬가지로, 충분히 큰 $n$에 대하여

$\frac{1}{2}{L}^{″}<\frac{a_n}{b_n}<2L^{\prime }$

이라는 사실과 비교 판정법으로부터 증명될 수 있다. 틀:증명 끝

예

기하급수와의 비교

급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-n}$를 생각하자. 기하급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$가 수렴하고

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1/(2^n-n)}{1/2^n}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^n}{2^n-n}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{1-n/2^n}\\ & =\frac{1}{1-0}\\ & =1\end{array}$

이므로, 원래 급수는 수렴한다.

조화급수와의 비교

급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln (1+\frac{1}{n})$를 생각하자. 이를 조화급수와 비교하면

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln (1+1/n)}{1/n}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\ln (1+x){)}^{\prime }}{x^{\prime }}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1/(1+x)}{1}\\ & =1\end{array}$

을 얻는다. 조화급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$는 발산하므로, 원래 급수도 발산한다.

마찬가지로, 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin \frac{1}{n}$는

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sin (1/n)}{1/n}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sin x{)}^{\prime }}{x^{\prime }}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}\\ & =1\end{array}$

이므로 발산한다.

기타

급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+2n}$를 생각하자. 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$는 수렴한다. (적분 판정법 또는 코시 응집 판정법을 사용할 수 있다.) 두 급수의 항의 비의 극한은

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1/(n^2+2n)}{1/n^2}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^2}{n^2+2n}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{n+2}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{1+2/n}\\ & =\frac{1}{1+0}\\ & =1\end{array}$

이다. 극한 비교 판정법에 따라, 원래 급수는 수렴한다.

급수 $\sum _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\ln \cos \frac{\pi }{n}$를 생각하자. (이는 음의 실수 항들로 이루어진다.) 0으로 수렴하는 두 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ 및 $(b_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$에 대하여, 편의상

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=1$

을 $a_n\sim b_n$으로 쓰자. 그렇다면,

$\begin{array}{cc}\ln \cos \frac{\pi }{n}& =\ln (1+\cos \frac{\pi }{n}-1)\\ & \sim \cos \frac{\pi }{n}-1\\ & =-2{\sin }^2\frac{\pi }{2n}\\ & \sim -\frac{{\pi }^2}{2n^2}\end{array}$

이다. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$이 수렴하므로, 원래 급수는 수렴한다.

같이 보기

• 수렴판정법
• 비교 판정법

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드