적분의 점화식

적분 미적분학에서 적분의 점화식은 점화식의 형태로 된 적분 공식이다. 주로 초등함수의 거듭제곱, 초월함수와 n차다항식의 곱의 형태 같은 정수 매개변수를 포함하는 수식을 직접 적분하기 어려울 때 쓰인다.

이러한 점화식과 다른 적분법을 이용하면 피적분함수를 정수 매개변수의 값이 더 작은 동일하거나 유사한 형태의 식으로 바꾸어 쉽게 적분이 가능하도록 단순화 할 수 있다. 이 방식은 가장 초기에 사용된 적분법 중 하나이다.

적분의 점화식을 유도하는 원리

적분의 점화식은 치환 적분, 부분 적분, 삼각 치환, 부분 분수에 의한 적분 등과 같은 일반적인 적분법을 이용하여 유도할 수 있다. 핵심은 정수 매개 변수를 이용하여 나타낼 수 있는 함수 $I_n$(예 : 거듭 제곱)를 더 낮은 값의 매개 변수(더 낮은 거듭 제곱)를 포함하는 함수(예 : $I_{n-1}$ 또는 $I_{n-2}$)에 대하여 나타내는 것이다. 즉 원래의 적분을 점화식의 형태로 나타내는 것이다. 결론적으로 적분의 점화식은 다음과 같이 적분

$I_n=\int f(x,n)\text{d}x,$

을 $k<n$인 정수 $k$에 대하여

$I_k=\int f(x,k)\text{d}x,$

의 형태로 나타내는 것이다.

적분의 점화식을 이용한 함수의 적분

점화식을 이용하여 함수를 적분하기 위해서 $I_n$의 적분을 점화식을 사용하여 $I_{n-1}$ 또는 $I_{n-2}$ 에 대한 적분으로 나타내야 한다. $I_n$이 쉽게 적분될 때까지 (주로 n=1 또는 n=0일 때까지) 점화식을 반복적으로 사용하여, 결과를 적분하고, 다시 대입하여 $I_n$을 계산한다.

예시

아래는 점화식을 이용한 적분 과정의 예시이다.

코사인함수의 적분

일반적으로

$\int {\cos }^{n}x\text{d}x,$

와 같은 적분은 적분의 점화식을 이용하여 적분할 수 있다.

n = 1, 2 ... 30인 경우의$\int {\cos }^n(x)\text{d}x$

$I_n=\int {\cos }^{n}x\text{d}x.$

라고 하자.

$I_n=\int {\cos }^{n-1}x\cos x\text{d}x,$

$\cos x\text{d}x=\text{d}(\sin x),$

라고 치환하면

$I_n=\int {\cos }^{n-1}x\text{d}(\sin x).$

부분 적분을 이용하면

$\begin{array}{cc}\int {\cos }^{n}x\text{d}x& ={\cos }^{n-1}x\sin x-\int \sin x\text{d}({\cos }^{n-1}x)\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x{\cos }^{n-2}x\sin x\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}x{\sin }^{2}x\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}x(1-{\cos }^{2}x)\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}x\text{d}x-(n-1)\int {\cos }^{n}x\text{d}x\\ & ={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n,\end{array}$

$I_n+(n-1)I_n={\cos }^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2},$

$n{I}_n={\cos }^{n-1}(x)\sin x+(n-1)I_{n-2},$

$I_n=\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}{I}_{n-2},$

따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

$\int {\cos }^{n}x\text{d}x=\frac{1}{n}{\cos }^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}x\text{d}x.$

이 예시를 보충하기 위해 n = 5를 대입해 보면.

$I_5=\int {\cos }^{5}x\text{d}x.$

n=5, n=3을 대입하면

$n=5,I_5=\frac{1}{5}{\cos }^{4}x\sin x+\frac{4}{5}{I}_3,$

$n=3,I_3=\frac{1}{3}{\cos }^{2}x\sin x+\frac{2}{3}{I}_1,$

결과를 대입하면

$\because I_1=\int \cos x\text{d}x=\sin x+C_1,$

$\therefore I_3=\frac{1}{3}{\cos }^{2}x\sin x+\frac{2}{3}\sin x+C_2,C_2=\frac{2}{3}{C}_1,$

$I_5=\frac{1}{5}{\cos }^{4}x\sin x+\frac{4}{5}[\frac{1}{3}{\cos }^{2}x\sin x+\frac{2}{3}\sin x]+C,$

여기서 C는 적분상수이다.

지수함수의 적분

또 다른 전형적인 예는 다음과 같다.

$\int x^n{e}^{ax}\text{d}x.$

$I_n=\int x^n{e}^{ax}\text{d}x.$

라고 하자.

치환 적분을 하면

$x^n\text{d}x=\frac{\text{d}(x^{n+1})}{n+1},$

로 치환하면

$I_n=\frac{1}{n+1}\int e^{ax}\text{d}(x^{n+1}),$

부분 적분을 하면

$\begin{array}{cc}\int e^{ax}\text{d}(x^{n+1})& =x^{n+1}{e}^{ax}-\int x^{n+1}\text{d}(e^{ax})\\ & =x^{n+1}{e}^{ax}-a\int x^{n+1}{e}^{ax}\text{d}x,\end{array}$

$(n+1)I_n=x^{n+1}{e}^{ax}-a{I}_{n+1},$

n + 1 → n, n → n – 1으로 바꾸면

$n{I}_{n-1}=x^n{e}^{ax}-a{I}_n,$

$I_n=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n{I}_{n-1}),$

따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.

$\int x^n{e}^{ax}\text{d}x=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x).$

$e^{ax}$를 치환하여 이 공식을 유도하는 다른 방법도 있다.

$e^{ax}\text{d}x=\frac{\text{d}(e^{ax})}{a},$

$I_n=\frac{1}{a}\int x^n\text{d}(e^{ax}),$

$\begin{array}{cc}\int x^n\text{d}(e^{ax})& =x^n{e}^{ax}-\int e^{ax}\text{d}(x^n)\\ & =x^n{e}^{ax}-n\int e^{ax}{x}^{n-1}\text{d}x,\end{array}$

결과를 다시 대입하면 점화식을 구할 수 있다.

$I_n=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n{I}_{n-1}),$

즉

$\int x^n{e}^{ax}\text{d}x=\frac{1}{a}(x^n{e}^{ax}-n\int x^{n-1}{e}^{ax}\text{d}x).$

적분의 점화식의 표

유리함수

다음의 적분 은 아래를 포함한다:

• 선형 라디칼 $\sqrt{ax+b}$
• 선형 인수 $px+q$ 또는 선형 라디칼 $\sqrt{ax+b}$
• 이차식 $x^2+a^2$
• 이차식 $x^2-a^2$ ($x>a$)
• 이차식 $a^2-x^2$ ($x<a$)
• (기약 다항식) $a{x}^2+bx+c$
• 기약 다항식$\sqrt{a{x}^2+bx+c}$의 라디칼

적분	적분의 점화식
$I_n=\int \frac{x^n}{\sqrt{ax+b}}\text{d}x$	$I_n=\frac{2x^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}-\frac{2nb}{a(2n+1)}{I}_{n-1}$
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{x^n\sqrt{ax+b}}$	$I_n=-\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)b{x}^{n-1}}-\frac{a(2n-3)}{2b(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_n=\int x^n\sqrt{ax+b}\text{d}x$	$I_n=\frac{2x^n\sqrt{(ax+b{)}^3}}{a(2n+3)}-\frac{2nb}{a(2n+3)}{I}_{n-1}$
$I_{m,n}=\int \frac{\text{d}x}{(ax+b{)}^m(px+q{)}^n}$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{(n-1)(bp-aq)}[\frac{1}{(ax+b{)}^{m-1}(px+q{)}^{n-1}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}]\\ \frac{1}{(m-1)(bp-aq)}[\frac{1}{(ax+b{)}^{m-1}(px+q{)}^{n-1}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}]\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{(ax+b{)}^m}{(px+q{)}^n}\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{1}{(n-1)(bp-aq)}[\frac{(ax+b{)}^{m+1}}{(px+q{)}^{n-1}}+a(n-m-2)I_{m,n-1}]\\ -\frac{1}{(n-m-1)p}[\frac{(ax+b{)}^m}{(px+q{)}^{n-1}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}]\\ -\frac{1}{(n-1)p}[\frac{(ax+b{)}^m}{(px+q{)}^{n-1}}-am{I}_{m-1,n-1}]\end{array}$

적분	적분의 점화식
$I_n=\int \frac{(px+q{)}^n}{\sqrt{ax+b}}\text{d}x$	$\int (px+q{)}^n\sqrt{ax+b}\text{d}x=\frac{2(px+q{)}^{n+1}\sqrt{ax+b}}{p(2n+3)}+\frac{bp-aq}{p(2n+3)}{I}_n$ $I_n=\frac{2(px+q{)}^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}+\frac{2n(aq-bp)}{a(2n+1)}{I}_{n-1}$
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(px+q{)}^n\sqrt{ax+b}}$	$\int \frac{\sqrt{ax+b}}{(px+q{)}^n}\text{d}x=-\frac{\sqrt{ax+b}}{p(n-1)(px+q{)}^{n-1}}+\frac{a}{2p(n-1)}{I}_n$ $I_n=-\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q{)}^{n-1}}+\frac{a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}{I}_{n-1}$

적분	적분의 점화식
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(x^2+a^2{)}^n}$	$I_n=\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2{)}^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2+a^2{)}^n}$	$a^2{I}_{n,m}=I_{m,n-1}-I_{m-2,n}$
$I_{n,m}=\int \frac{x^m}{(x^2+a^2{)}^n}\text{d}x$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}-a^2{I}_{m-2,n}$

적분	적분의 점화식
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(x^2-a^2{)}^n}$	$I_n=-\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2-a^2{)}^{n-1}}-\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2-a^2{)}^n}$	$a^2{I}_{n,m}=I_{m-2,n}-I_{m,n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{x^m}{(x^2-a^2{)}^n}\text{d}x$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}+a^2{I}_{m-2,n}$

적분	적분의 점화식
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{(a^2-x^2{)}^n}$	$I_n=\frac{x}{2a^2(n-1)(a^2-x^2{)}^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}{I}_{n-1}$
$I_{n,m}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(a^2-x^2{)}^n}$	$a^2{I}_{n,m}=I_{m,n-1}+I_{m-2,n}$
$I_{n,m}=\int \frac{x^m}{(a^2-x^2{)}^n}\text{d}x$	$I_{n,m}=a^2{I}_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}$

적분	적분의 점화식
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{x^n(a{x}^2+bx+c)}$	$-c{I}_n=\frac{1}{x^{n-1}(n-1)}+b{I}_{n-1}+a{I}_{n-2}$
$I_{m,n}=\int \frac{x^m\text{d}x}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}$	$I_{m,n}=-\frac{x^{m-1}}{a(2n-m-1)(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}-\frac{b(n-m)}{a(2n-m-1)}{I}_{m-1,n}+\frac{c(m-1)}{a(2n-m-1)}{I}_{m-2,n}$
$I_{m,n}=\int \frac{\text{d}x}{x^m(a{x}^2+bx+c{)}^n}$	$-c(m-1)I_{m,n}=\frac{1}{x^{m-1}(a{x}^2+bx+c{)}^{n-1}}+a(m+2n-3)I_{m-2,n}+b(m+n-2)I_{m-1,n}$

적분	적분의 점화식
$I_n=\int (a{x}^2+bx+c{)}^n\text{d}x$	$8a(n+1)I_{n+\frac{1}{2}}=2(2ax+b)(a{x}^2+bx+c{)}^{n+\frac{1}{2}}+(2n+1)(4ac-b^2)I_{n-\frac{1}{2}}$
$I_n=\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^n}\text{d}x$	$(2n-1)(4ac-b^2)I_{n+\frac{1}{2}}=\frac{2(2ax+b)}{(a{x}^2+bx+c{)}^{n-\frac{1}{2}}}+8a(n-1)I_{n-\frac{1}{2}}$

지수법칙에 따라:

$I_{n+\frac{1}{2}}=I_{\frac{2n+1}{2}}=\int \frac{1}{(a{x}^2+bx+c{)}^{\frac{2n+1}{2}}}\text{d}x=\int \frac{1}{\sqrt{(a{x}^2+bx+c{)}^{2n+1}}}\text{d}x$

초월함수

다음의 적분 은 아래의 함수들을 포함하는 함수들이다:

• 사인
• 코사인
• 사인 및 코사인의 곱 또는 나누었을 때의 몫
• x의 거듭 제곱과 지수함수의 곱
• 사인 / 코사인과 지수함수의 곱

적분	적분의 점화식
$I_n=\int x^n\sin ax\text{d}x$	$a^2{I}_n=-a{x}^n\cos ax+n{x}^{n-1}\sin ax-n(n-1)I_{n-2}$
$J_n=\int x^n\cos ax\text{d}x$	$a^2{J}_n=a{x}^n\sin ax+n{x}^{n-1}\cos ax-n(n-1)J_{n-2}$
$I_n=\int \frac{\sin ax}{x^n}\text{d}x$ $J_n=\int \frac{\cos ax}{x^n}\text{d}x$	$I_n=-\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}{J}_{n-1}$ $J_n=-\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}{I}_{n-1}$ 공식을 결합하여 I n의 개별적인 방정식을 얻을 수 있다. $J_{n-1}=-\frac{\cos ax}{(n-2)x^{n-2}}-\frac{a}{n-2}{I}_{n-2}$ $I_n=-\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}[\frac{\cos ax}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}{I}_{n-2}]$ $\therefore I_n=-\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}(\frac{\cos ax}{x^{n-2}}+a{I}_{n-2})$ 그리고 J n : $I_{n-1}=-\frac{\sin ax}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}{J}_{n-2}$ $J_n=-\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}[-\frac{\sin ax}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}{J}_{n-2}]$ $\therefore J_n=-\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}(-\frac{\sin ax}{x^{n-2}}+a{J}_{n-2})$
$I_n=\int {\sin }^{n}ax\text{d}x$	$an{I}_n=-{\sin }^{n-1}ax\cos ax+a(n-1)I_{n-2}$
$J_n=\int {\cos }^{n}ax\text{d}x$	$an{J}_n=\sin ax{\cos }^{n-1}ax+a(n-1)J_{n-2}$
$I_n=\int \frac{\text{d}x}{{\sin }^{n}ax}$	$(n-1)I_n=-\frac{\cos ax}{a{\sin }^{n-1}ax}+(n-2)I_{n-2}$
$J_n=\int \frac{\text{d}x}{{\cos }^{n}ax}$	$(n-1)J_n=\frac{\sin ax}{a{\cos }^{n-1}ax}+(n-2)J_{n-2}$

적분	적분의 점화식
$I_{m,n}=\int {\sin }^{m}ax{\cos }^{n}ax\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{{\sin }^{m-1}ax{\cos }^{n+1}ax}{a(m+n)}+\frac{m-1}{m+n}{I}_{m-2,n}\\ \frac{{\sin }^{m+1}ax{\cos }^{n-1}ax}{a(m+n)}+\frac{n-1}{m+n}{I}_{m,n-2}\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{\text{d}x}{{\sin }^{m}ax{\cos }^{n}ax}$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}\frac{1}{a(n-1){\sin }^{m-1}ax{\cos }^{n-1}ax}+\frac{m+n-2}{n-1}{I}_{m,n-2}\\ -\frac{1}{a(m-1){\sin }^{m-1}ax{\cos }^{n-1}ax}+\frac{m+n-2}{m-1}{I}_{m-2,n}\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{{\sin }^{m}ax}{{\cos }^{n}ax}\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}\frac{{\sin }^{m-1}ax}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}-\frac{m-1}{n-1}{I}_{m-2,n-2}\\ \frac{{\sin }^{m+1}ax}{a(n-1){\cos }^{n-1}ax}-\frac{m-n+2}{n-1}{I}_{m,n-2}\\ -\frac{{\sin }^{m-1}ax}{a(m-n){\cos }^{n-1}ax}+\frac{m-1}{m-n}{I}_{m-2,n}\end{array}$
$I_{m,n}=\int \frac{{\cos }^{m}ax}{{\sin }^{n}ax}\text{d}x$	$I_{m,n}=\{\begin{array}{c}-\frac{{\cos }^{m-1}ax}{a(n-1){\sin }^{n-1}ax}-\frac{m-1}{n-1}{I}_{m-2,n-2}\\ -\frac{{\cos }^{m+1}ax}{a(n-1){\sin }^{n-1}ax}-\frac{m-n+2}{n-1}{I}_{m,n-2}\\ \frac{{\cos }^{m-1}ax}{a(m-n){\sin }^{n-1}ax}+\frac{m-1}{m-n}{I}_{m-2,n}\end{array}$

적분	적분의 점화식
$I_n=\int x^n{e}^{ax}\text{d}x$ $n>0$	$I_n=\frac{x^n{e}^{ax}}{a}-\frac{n}{a}{I}_{n-1}$
$I_n=\int x^{-n}{e}^{ax}\text{d}x$ $n>0$ $n\ne 1$	$I_n=\frac{-e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}{I}_{n-1}$
$I_n=\int e^{ax}{\sin }^{n}bx\text{d}x$	$I_n=\frac{e^{ax}{\sin }^{n-1}bx}{a^2+(bn{)}^2}(a\sin bx-bn\cos bx)+\frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn{)}^2}{I}_{n-2}$
$I_n=\int e^{ax}{\cos }^{n}bx\text{d}x$	$I_n=\frac{e^{ax}{\cos }^{n-1}bx}{a^2+(bn{)}^2}(a\cos bx+bn\sin bx)+\frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn{)}^2}{I}_{n-2}$

서지

• Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.