초자연 변환

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 초자연 변환(超自然變換, 틀:Llang)은 자연 변환의 개념의 일반화이다.틀:Rp 자연 변환과 달리, 초자연 변환은 정의역이 서로 다른 두 함자 사이에도 정의될 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 범주 $𝒜$, $ℬ$, $𝒞$, $𝒟$
• 두 함자

  $F:𝒜\times {ℬ}^{\mathrm{op}}\times ℬ\to 𝒟$

  $G:𝒜\times {𝒞}^{\mathrm{op}}\times 𝒞\to 𝒟$

그렇다면, $𝒜$에 대하여 자연적이며, $ℬ$와 $𝒞$에 대하여 초자연적인 초자연 변환 $\eta :F\stackrel{..}{\to }G$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.틀:Rp틀:Rp

• 각 $A\in 𝒜$, $B\in ℬ$, $C\in 𝒞$에 대하여, 사상 ${\eta }_{A,B,C}:F(A,B,B)\to G(A,C,C)$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• ($𝒜$에서의 자연성) 각 $(B,C)\in ℬ\times 𝒞$에 대하여, ${\eta }_{-,B,C}:F(-,B,B)\Rightarrow F(-,C,C)$는 자연 변환이다. 즉, 임의의 사상 $f\in {\mathrm{hom}}_{𝒜}(A,A^{\prime })$에 대하여 다음 그림이 가환 그림이다.

  $\begin{array}{ccc}F(A,B,B)& \to & G(A,C,C)\\ \downarrow & & \downarrow \\ F(A^{\prime },B,B)& \to & G(A^{\prime },C,C)\end{array}$

• ($ℬ$에서의 초자연성) 각 $(A,C)\in 𝒜\times 𝒞$ 및 $g\in {\mathrm{hom}}_{ℬ}(B,B^{\prime })$에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다.

  $\begin{array}{ccc}F(A,B^{\prime },B)& \to & F(A,B,B)\\ \downarrow & & \downarrow \\ F(A,B^{\prime },B^{\prime })& \to & G(A,C,C)\end{array}$

• ($𝒞$에서의 초자연성) 각 $(A,B)\in 𝒜\times ℬ$ 및 $h\in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(C,C^{\prime })$에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다.

  $\begin{array}{ccc}F(A,B,B)& \to & G(A,C,C)\\ \downarrow & & \downarrow \\ G(A,C^{\prime },C^{\prime })& \to & G(A,C,C^{\prime })\end{array}$

연산

임의의 초자연 변환은 임의로 합성될 수 없으나, 합성이 가능한 경우는 끈 그림(틀:Llang)이라는 위상수학적 모형으로 계산될 수 있다.

구체적으로, $𝒜\times {ℬ}^{\mathrm{op}}\times ℬ\to 𝒟$에서 $𝒜\times {𝒞}^{\mathrm{op}}\times 𝒞\to 𝒟$로 가는 초자연 변환은 다음과 같은 꼴의 끈 그림(틀:Llang)으로 나타낼 수 있다.틀:Rp

A B B
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C

두 초자연 변환의 합성은 위와 같은 끈 그림의 합성으로 나타내어지는데, 이 경우 합성된 끈 그림이 순환을 갖지 않아야 한다. 예를 들어

    A
╭─╮ │
A A A
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C

는 가능하며, 초자연 변환

A
│
│ ╭─╮
A C C

을 정의한다. 반면, 예를 들어

A
│ ╭─╮
A B B
│ ╰─╯
A

와 같은 합성은 불가능하다.

예

닫힌 모노이드 범주 $(𝒞,\otimes )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 지수 대상의 텐서곱 함자

$(\mathrm{hom}\otimes \mathrm{id}):{𝒞}^{\mathrm{op}}\times 𝒞\otimes 𝒞\to 𝒞$

$(\mathrm{hom},\mathrm{id}):(x,y,z)\mapsto x^y\otimes z$

및 항등 함자

${\mathrm{id}}_{𝒞}:𝒞\to 𝒞$

가 존재한다. 이 사이에는 다음과 같은 초자연 변환이 존재한다.

$\mathrm{eval}:(\mathrm{hom}\otimes \mathrm{id})\stackrel{..}{\to }\mathrm{id}$

${\mathrm{eval}}_{X,Y}:X^Y\otimes Y\to X$

이는 $X$에 대하여 자연적이며, $Y$에 대하여 초자연적인 초자연 변환이다.틀:Rp

예를 들어, 만약 $(𝒞,\otimes )$가 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간의 범주 ${\mathrm{fgMod}}_K$이며, $X=K$일 때, 이는 벡터 공간과 그 쌍대 공간 사이의 내적

$⟨-,-⟩:V^{*}{\otimes }_{K}V\to K$

에 해당한다.

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
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