유한형 사상

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 유한형 사상(有限型寫像, 틀:Llang, 틀:Llang)은 대략 유한 개의 변수에 대한 다항 함수에 대응하는 스킴 사이의 사상이다.

정의

유한형 환 준동형

두 가환환 사이의 환 준동형 $f:R\to S$가 주어졌을 때, $S$는 $f$를 통해 $R$-가환 결합 대수를 이룬다. 만약 $S$가 $R$-유한 생성 가환 결합 대수라면 (즉, 만약 어떤 충분히 큰 자연수 $n$에 대하여 $S$가 $R[x_1,x_2,\dots ,x_n]$의 $R$-몫대수와 $R$-가환 결합 대수로서 동형이라면), $f$를 유한형 준동형(有限型準同型, 틀:Llang)이라고 한다.

유한형 사상

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 $f:X\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 국소 유한형 사상(局所有限型寫像, 틀:Llang)이라고 한다

• 임의의 $x\in X$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 $x\in \mathrm{Spec}R\subseteq X$ 및 $f(x)\in \mathrm{Spec}S\subseteq Y$가 존재한다.

  환 준동형 $S\to R$은 유한형 준동형이다.

• 다음 조건을 만족시키는 $Y$의 아핀 열린 덮개 $(V_i\cong \mathrm{Spec}{R}_i{)}_{i\in I}$ 및 각 $i\in I$에 대하여 $f^{-1}(V_i)$의 아핀 열린 덮개 $(U_j\cong \mathrm{Spec}{S}_j{)}_{j\in J_i}$가 존재한다.

  각 $i\in I$ 및 $j\in J_i$에 대하여, 환 준동형 $R_i\to S_j$는 유한형 준동형이다.

준콤팩트 함수인 국소 유한형 사상을 유한형 사상(有限型寫像, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp틀:Rp

유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

유한 표시 사상

두 가환환 사이의 환 준동형 $f:R\to S$가 주어졌을 때, $S$는 $f$를 통해 $R$-가환 결합 대수를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, $f$를 유한 표시 준동형(有限表示準同型, 틀:Llang)이라고 한다.

• 만약 어떤 충분히 큰 자연수 $n$에 대하여, $S$가 $R[x_1,x_2,\dots ,x_n]$의 $R$-몫대수 $R[x_1,x_2,\dots ,x_n]/𝔞$와 $R$-가환 결합 대수로서 동형이며, $𝔞$는 유한 생성 아이디얼로 잡을 수 있다.

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 $f:X\to Y$가 주어졌다고 하자. 임의의 $x\in X$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 $x\in \mathrm{Spec}R\subseteq X$ 및 $f(x)\in \mathrm{Spec}S\subseteq Y$가 존재한다면, $f$를 국소 유한 표시 사상(局所有限表示寫像, 틀:Llang)이라고 한다.

• 환 준동형 $S\to R$은 유한 표시 준동형이다.

준콤팩트 함수이자 준분리 사상인 국소 유한 표시 사상을 유한 표시 사상(有限表示寫像, 틀:Llang)이라고 한다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

스킴 사상	⊃	국소 유한형 사상	⊃	유한형 사상	⊃	고유 사상	⊃	유한 사상	⊃	닫힌 몰입
		∪		∪
		국소 유한 표시 사상	⊃	유한 표시 사상
		∪
		에탈 사상
		∪
		열린 몰입

공역이 국소 뇌터 스킴인 스킴 사상의 경우,

국소 유한형 사상 = 국소 유한 표시 사상

유한형 사상 = 유한 표시 사상

이 성립한다.

닫힘

$𝔓$가 유한형 사상 · 국소 유한형 사상 · 유한 표시 사상 · 국소 유한 표시 사상 · 유한 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• (합성에 대한 닫힘) $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z$에 대하여, 만약 $f$와 $g$가 $𝔓$-사상이라면 $g\circ f$ 역시 $𝔓$-사상이다.
• (밑 변환에 대하여 안정) $X\stackrel{f}{\to }Y\leftarrow Y^{\prime }$ 에 대하여, 만약 $f$가 $𝔓$-사상이라면 밑 변환 $f^{\prime }:X{\times }_Y{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$ 역시 $𝔓$-사상이다.
• (fpqc 위상에서의 내림) $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\leftarrow }{Y}^{\prime }$에 대하여, 만약 밑 변환 $f^{\prime }:X{\times }_Y{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$가 $𝔓$-사상이며, $g$가 fpqc 사상이라면 $f$ 역시 $𝔓$-사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

예

체 $K$에 대하여, 아핀 공간 ${𝔸}_K^n=\mathrm{Spec}K[x_1,\dots ,x_n]$은 자연스러운 사상

${𝔸}_K^n\to {𝔸}_K^0=\mathrm{Spec}K$

을 갖는다. 이는 유한형 사상이지만, $n>0$이라면 유한 사상이 아니다.

환 준동형

$K[x]\to K[x,y]/(y^2-x^3-x)$

으로 유도되는 아핀 스킴 사상

$\mathrm{Spec}K[x,y]/(y^2-x^3-x)\to {𝔸}_K^1$

는 유한 사상이며 따라서 유한형 사상이다.

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 고유 사상