유전환

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서, 유전환(遺傳環, 틀:Llang)은 사영 가군의 부분 가군이 역시 사영 가군인 환이다.

정의

환 $R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 유전환(-遺傳環, 틀:Llang)이라고 한다.

• 사영 왼쪽 가군의 부분 가군은 사영 가군이다.
• 모든 왼쪽 아이디얼이 사영 왼쪽 가군이다.
• $R$의 왼쪽 가군 범주 ${}_R\mathrm{Mod}$의 대역 차원은 1 이하이다. 즉, 모든 왼쪽 가군의 사영 분해의 길이는 1 이하이다.

환 $R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 반유전환(-半遺傳環, 틀:Llang)이라고 한다.

• 유한 생성 사영 왼쪽 가군의 부분 가군은 사영 왼쪽 가군이다.
• 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼이 사영 왼쪽 가군이다.

마찬가지로 오른쪽 유전환(-遺傳環, 틀:Llang)과 오른쪽 반유전환(-半遺傳環틀:Llang)을 정의할 수 있다.

물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

성질

반단순환은 항상 왼쪽 유전환이자 오른쪽 유전환이다.

정역의 경우, 유전환인 것은 데데킨트 정역인 것과 동치이며, 반유전환인 것은 프뤼퍼 정역인 것과 동치이다.

예

삼각환

$\left(\begin{array}{cc}\mathbb{Q}& \mathbb{Q}\\ 0& \mathbb{Z}\end{array}\right)$

은 왼쪽 유전환이지만 오른쪽 유전환이 아니다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
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