최소 공배수

$\{2,3,4,5,7\}$의 모든 부분 집합의 최소 공배수를 표시한 벤 다이어그램

수론에서, 여러 개의 정수의 최소 공배수(最小公倍數, 틀:Llang, 약자 lcm)는 그들 모두의 배수가 되는 음이 아닌 정수 가운데 가장 큰 하나이다. 정수 집합의 약수 관계에 대한 원격자에서의 상한이다. 기호는 $\mathrm{lcm}\{m,n\}$ 또는 $[m,n]$.

최소 공배수는 모든 정수에 대해서 정의된다.틀:Rp 일부 문헌에서는 최소 공배수의 정의를 0이 아닌 정수 또는 양의 정수 따위로 제한한다.

최소 공배수 값을 음이 아닌 정수로 정하는 것은 일종의 표준화 작업이다. 체 계수 다항식의 최소 공배수도 정의할 수 있으며, 흔히 최소 공배수 값을 (0 또는) 일계수 다항식으로 정한다. 가환환의 원소에 대해서도 정의할 수 있는데, 추가적인 데이터가 없는 한 최소 공배수 값을 표준적으로 선택하는 방법은 정해져 있지 않다.

정의

두 정수 $m,n\in \mathbb{Z}$의 공배수(틀:Llang)는 $m$의 배수이자 $n$의 배수인 정수이다. 두 정수 $m,n\in \mathbb{Z}$의 최소 공배수 $\mathrm{lcm}\{m,n\}$는 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이들 정의는 서로 동치이다.틀:Rp

• $m$, $n$의 공배수인 음이 아닌 정수 가운데 가장 작은 하나
• $m$, $n$의 공배수이며, $m$, $n$의 모든 공배수의 약수인 유일한 음이 아닌 정수

유한 개의 정수 $n_1,n_2,\dots ,n_k\in \mathbb{Z}$의 최소 공배수 $\mathrm{lcm}\{n_1,n_2,\dots ,n_k\}$는 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이들 정의는 서로 동치이다.

• 가장 작은 음이 아닌 공배수
• 공배수이며, 모든 공배수의 약수인 유일한 음이 아닌 정수
• (재귀적 정의) $\mathrm{lcm}\{\mathrm{lcm}\{n_1,n_2,\dots ,n_{k-1}\},n_k\}$

마찬가지로, 임의의 정수 집합 $S\subseteq \mathbb{Z}$의 최소 공배수 $\mathrm{lcm}S$를 정의할 수 있다. 일부 문헌의 경우, 0이 아닌 정수들에 대해서만 최대 공배수를 정의한다. 일부 문헌의 경우, 양의 정수에 대해서만 정의한다.

성질

약수 관계와의 관계

공배수는 최소 공배수의 배수와 동치이다.

$m,n\mid a⟺\mathrm{lcm}\{m,n\}\mid a$

$n_1,\dots ,n_k\mid a⟺\mathrm{lcm}\{n_1,\dots ,n_k\}\mid a$

약수 관계는 최소 공배수를 통해 다음과 같이 기술할 수 있다.

$m\mid n⟺\mathrm{lcm}\{m,n\}=|n|$

이는 격자의 순서론적 구조와 대수적 구조 사이의 관계의 특수한 경우이다.

항등식

임의의 정수들에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

• (멱등 법칙) $\mathrm{lcm}\{n,n\}=|n|$
• (교환 법칙) $\mathrm{lcm}\{m,n\}=\mathrm{lcm}\{n,m\}$
• (결합 법칙) $\mathrm{lcm}\{\mathrm{lcm}\{m,n\},k\}=\mathrm{lcm}\{m,\mathrm{lcm}\{n,k\}\}$
• (흡수 법칙) $\mathrm{lcm}\{m,\mathrm{lcm}\{m,n\}\}=m$
• (흡수 법칙) $\mathrm{lcm}\{m,\mathrm{lcm}\{m,n\}\}=m$
• $\mathrm{lcm}\{1,n\}=|n|$
  • 즉, 1은 격자 $({\mathbb{Z}}_{\ge 0},\mid )$의 최소 원소이다.
• $\mathrm{lcm}\{0,n\}=0$틀:Rp
  • 즉, 0은 격자 $({\mathbb{Z}}_{\ge 0},\mid )$의 최대 원소이다.
  • 이들 항등식에 따라, $({\mathbb{Z}}_{\ge 0},\mid )$는 유계 격자를 이룬다.
• (곱에 대한 분배 법칙) $\mathrm{lcm}\{mk,nk\}=\mathrm{lcm}\{m,n\}|k|$
• $\gcd \{m,n\}\mathrm{lcm}\{m,n\}=|mn|$
  • 특히, 적어도 하나가 0이 아닌 두 정수의 최소 공배수는 최대 공약수를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

    $\mathrm{lcm}\{m,n\}=\frac{|mn|}{\gcd \{m,n\}}$

  • 특히, 두 서로소 정수 $\gcd \{m,n\}=1$의 최소 공배수는 다음과 같다.

    $\mathrm{lcm}\{m,n\}=|mn|$

• (최대 공약수에 대한 분배 법칙) $\mathrm{lcm}\{m,\gcd \{n,k\}\}=\gcd \{\mathrm{lcm}\{m,n\},\mathrm{lcm}\{m,k\}\}$
• (최대 공약수에 대한 분배 법칙) $\gcd \{m,\mathrm{lcm}\{n,k\}\}=\mathrm{lcm}\{\gcd \{m,n\},\gcd \{m,k\}\}$
  • 이 두 항등식에 따라, 격자 $({\mathbb{Z}}_{\ge 0},\mid )$는 분배 격자이다.

소인수 분해와의 관계

소인수분해가 주어진 양의 정수들의 최소 공배수는 소인수의 지수의 최댓값을 취하여 얻는다. 두 정수의 경우, 소인수분해가

$m=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$

$n=p_1^{f_1}{p}_2^{f_2}\cdots p_k^{f_k}$

$e_i,f_i\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$

라면, 최소 공배수는

$\mathrm{lcm}\{m,n\}=p_1^{\max \{e_1,f_1\}}{p}_2^{\max \{e_2,f_2\}}\cdots p_k^{\max \{e_k,f_k\}}$

이다.

계산법

두 수 a와 b의 최소 공배수를 구하는 방법은 소인수 분해를 사용하는 방법이 있다.

두 수 192와 72의 최소 공배수를 소인수 분해를 이용하여 구하여 보자. 일단 두 수를 소인수 분해한다.

$192=2^6\times 3$

$72=2^3\times 3^2$

구하고 나면, 두 소인수 분해 결과의 한 소인수 중에서 지수가 가장 큰 수를 찾아 서로 곱한다. 두 결과에서 2가 여섯 번 3이 두 번 한 소인수 중에서 가장 큰 수를 찾아서 나왔다. 즉 $2^6\times 3^2=576$ 최소 공배수가 576이라는 결론이 나온다.

응용

통분

통분은 분수끼리 더하거나 뺄 때 사용되는 기법이다. 통분 과정에서 최소공분모(=분모의 최소 공배수)를 공분모로서 사용하면, 분모의 곱을 사용하는 경우보다 더 쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어,

$\frac{2}{21}+\frac{1}{6}=\frac{4}{42}+\frac{7}{42}=\frac{11}{42}$

는 최소공분모 $\mathrm{lcm}\{21,6\}=42$를 사용하여 계산한 것이다.

같이 보기

• 인수 분해