연립 일차 방정식

수학에서 연립 일차 방정식(聯立一次方程式, 틀:Llang) 또는 선형 방정식계(線形方程式系)는 여러 개의 일차 방정식으로 이루어진 연립 방정식이다.틀:Sfn 모든 일차 방정식을 만족시키는 변수값 튜플을 해로 한다. 기하학적 관점에서, 실수 계수 연립 일차 방정식의 해는 초평면들의 교점과 같다. 연립 일차 방정식은 계수 행렬과 첨가 행렬을 사용하여 나타낼 수 있다. 연립 일차 방정식의 기본적인 해법은 가우스 소거법이다. 연립 일차 방정식은 선형대수학의 중요한 연구 대상이며, 많은 실제 문제의 모형이다.틀:Sfn

정의

$m$ 개의 방정식으로 이루어진 $n$ 원 연립 일차 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}

a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2}

a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} + \dots + a_{3 n} x_{n} = b_{3}

⋮

a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + a_{m 3} x_{3} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m}

행렬 곱셈의 정의에 의하여, 이는 다음과 동치이다.

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & a_{m 3} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})

여기에 쓰인 세 행렬을 왼쪽부터 차례대로 $A_{m \times n}$ , $x_{n \times 1}$ , $b_{m \times 1}$ 라고 하면, 연립 일차 방정식은 다음과 같이 단순하게 쓸 수 있다.

A x = b

이 경우, $A$ 를 이 연립 일차 방정식의 계수 행렬, $x$ 를 해 벡터(解-, 틀:Llang), $b$ 를 소스 벡터(틀:Llang)라고 한다.^[1] 또한, 계수 행렬 옆에 소스 벡터를 덧붙인 행렬 $(A | b)$ 를 첨가 행렬이라고 한다.

연립 일차 방정식 $A x = b$ 가 $b = 0$ 을 만족시키면, 동차 연립 일차 방정식(同次聯立一次方程式, 틀:Llang)이라고 하며, 반대로 $b \neq 0$ 을 만족시키면, 비동차 연립 일차 방정식(非同次聯立一次方程式, 틀:Llang)이라고 한다.

풀이

계수를 체 $K$ 에서 취하는 연립 일차 방정식 $A x = b$ 의 해의 집합은 공집합이거나, $K$ -벡터 공간의 잉여류 $x_{0} + \ker A \subset K^{n}$ 를 이룬다. (여기서 $x_{0}$ 은 임의의 고정된 해이며, $\ker$ 는 핵이다.) 특히, 동차 연립 일차 방정식의 해들은 $K$ -벡터 공간 $\ker A \subset K^{n}$ 을 이룬다.

구체적으로, 연립 일차 방정식 $A x = b$ 의 해는 존재하지 않을 수도, 유일할 수도, 수많을 수도 있는데, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$A x = b$ 의 해는 존재한다.
$b \in im A$ (여기서 $im$ 는 상이다.)
$rank A = rank (A | b)$ (여기서 $rank$ 는 계수이다.)

또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$A x = b$ 의 해는 유일하다.
$A$ 는 가역 행렬이다.

특히, 동차 연립 일차 방정식은 영벡터를 자명한 해로 가지며, 해가 영벡터뿐일 필요충분조건은 계수 행렬이 (정사각) 가역 행렬인 것이다. 보다 구체적으로, 해공간의 차원은 다음과 같으며, 이를 계수-퇴화차수 정리라고 한다.

\dim \ker A = n - rank A

가우스 소거법

틀:본문 가우스 소거법은 가감법을 사용하여 연립 일차 방정식을 푸는 방법이다. 기본 행 연산 $P$ 를 통해 첨가 행렬

(A | b)

을 계수 행렬이 기약 행 사다리꼴 행렬인 새로운 첨가 행렬

(P A | P b)

로 변환시키면 된다.

크라메르 법칙

틀:본문 크라메르 법칙은 방정식의 개수와 미지수의 개수가 같고, 계수 행렬이 가역 행렬일 경우에 유일한 해를 구하는 공식이다. 이 유일한 해는 다음과 같다.

x = A^{- 1} b

크라메르 법칙은 이를 다음과 같이 풀어쓴다.

x_{i} = \frac{\det A_{i}}{\det A} i = 1, \dots, n

여기서 $A_{i}$ 는 $A$ 의 $i$ 째 열을 $b$ 로 대신하여 얻는 행렬이며, $\det$ 는 행렬식이다.

같이 보기

각주

틀:각주

참고 문헌

틀:서적 인용

외부 링크

틀:선형대수학

틀:전거 통제

↑ (cemm#을 활용한 수치해석, 제 3 장 수치 선형대수 www.msharpmath.com, revised on 2012.11.28,p21)http://www.msharpmath.com/wordpress/wp-content/uploads/2012/09/102-003-%EC%88%98%EC%B9%98%ED%95%B4%EC%84%9D1.pdf 틀:웹아카이브

[1] (cemm#을 활용한 수치해석, 제 3 장 수치 선형대수 www.msharpmath.com, revised on 2012.11.28,p21)http://www.msharpmath.com/wordpress/wp-content/uploads/2012/09/102-003-%EC%88%98%EC%B9%98%ED%95%B4%EC%84%9D1.pdf 틀:웹아카이브

[1]

연립 일차 방정식

목차

정의

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가우스 소거법

크라메르 법칙

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