계수-퇴화차수 정리

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계수-퇴화차수 정리의 시각적 표현

선형대수학에서 계수-퇴화차수 정리(틀:Llang)는 행렬의 상과 핵의 차원의 관계에 대한 정리이다.

정의

선형 변환 T:V→W의 정의역 V가 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음의 계수-퇴화차수 정리가 성립한다.

dim⁡im⁡T+dim⁡ker⁡T=dim⁡V

여기서 dim은 차원이며, im⁡T는 T의 상이며, ker⁡T는 T의 핵이다. 상의 차원을 계수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

rank⁡T=dim⁡im⁡T

핵의 차원을 퇴화차수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

nul⁡T=dim⁡ker⁡T

그렇다면, 계수-퇴화차수 정리를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.[1]틀:Rp

rank⁡T+nul⁡T=dim⁡V

증명

사실, 계수-퇴화차수 정리는 벡터 공간의 제1 동형 정리

V/ker⁡T≅im⁡T

의 자명한 따름정리이다. 이를 의존하지 않는 한 가지 증명은 다음과 같다.[1]틀:Rp dim⁡V=n이라고 하자. ker⁡T의 기저 {v1,v2,…,vr}(r≤n)를 취한 뒤, 이를 확장하여 V의 기저 {v1,v2,…,vr,vr+1,…,vn}을 만들자. 정리를 증명하려면, {Tvr+1,Tvr+2,…,Tvn}이 im⁡T의 기저를 이룸을 보이는 것으로 족하다. 이를 보이려면, 다음 두 명제를 증명하기만 하면 된다.

  • {Tvr+1,Tvr+2,…,Tvn}은 선형 독립이다.
    • 증명: ∑j=r+1najTvj=0이며 ar+1,ar+2,…,an∈K라고 하자. 선형 변환의 성질에 따라 T(∑j=r+1najvj)=0이며, ker⁡T의 정의에 따라 ∑j=r+1najvj∈ker⁡T이다. {v1,v2,…,vr}가 ker⁡T의 기저이므로, ∑j=r+1najvj=∑k=1rakvk인 a1,a2,…,ar∈K가 존재한다. 따라서, ∑k=1rakvk−∑j=r+1najvj=0인데, {v1,v2,…,vn}이 V의 기저이므로, 선형 독립이다. 따라서 a1=a2=…=an=0이며, 특히 ar+1=ar+2=⋯=an=0이다.
  • {Tvr+1,Tvr+2,…,Tvn}은 im⁡T를 선형 생성한다.
    • 증명: w∈im⁡T라고 하자. 그렇다면, im⁡T의 정의에 따라 w=Tv인 v∈V가 존재한다. 이 v는 기저 {v1,v2,…,vn}의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 즉, v=∑i=1nbivi인 b1,b2,…,bn∈K가 존재한다. 따라서 w=Tv=∑i=1nbiTvi인데, v1,v2,…,vr∈ker⁡T이므로, Tv1=Tv2=⋯=Tvr=0이다. 즉, w=∑i=r+1nbiTvi이다. 즉, 임의의 w∈im⁡T는 {Tvr+1,Tvr+2,…,Tvn}의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

이에 따라, {Tvr+1,Tvr+2,…,Tvn}은 im⁡T의 기저가 맞으며, 이로써 계수-퇴화차수 정리가 증명되었다.

참고 문헌

틀:각주

외부 링크

  1. ↑ 1.0 1.1 틀:서적 인용
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