여과 범주

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서, 여과 범주(濾過範疇, 틀:Llang)는 상향 원순서 집합의 개념의 범주론적 일반화이다. 여과 범주를 정의역으로 하는 쌍대 극한은 유한 극한과 가환한다.

정의

정칙 기수 $κ$ 가 주어졌다고 하자. 범주 $𝒥$ 가 다음 조건들을 만족시킨다면, $κ$ -여과 범주라고 한다.

임의의 작은 범주 $ℐ$ 및 함자 $D : ℐ \to 𝒥$ 에 대하여, 만약 $ℐ$ 의 사상 집합의 크기가 $κ$ 미만이라면, $D$ 는 쌍대뿔(틀:Llang)을 갖는다.

$ℵ_{0}$ -여과 범주는 단순히 여과 범주라고 한다.

마찬가지로, $κ$ -쌍대 여과 범주(틀:Llang)는 $κ$ -여과 범주의 반대 범주이다.

범주 $𝒥$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$ℵ_{0}$ -여과 범주이다.
다음 세 조건들을 만족시킨다.
- 하나 이상의 대상을 갖는다. (이는 $ℐ$ 가 아무 대상을 갖지 않을 때의 경우이다.)
- (두 대상의 상계의 존재) 임의의 두 대상 $I, J \in 𝒥$ 에 대하여, 대상 $K \in 𝒥$ 및 두 사상 $I \overset{f}{\to} K \overset{g}{\leftarrow} J$ 이 존재한다.
- (두 사상의 상계의 존재) 같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 $f, g : I \to J$ 에 대하여, $h \circ f = h \circ g$ 가 되는 대상 $K$ 및 사상 $h : J \to K$ 가 존재한다.
$\begin{matrix} I & \overset{f}{\to} & J \\ g ↓ g & h ↓ h \\ J & \to h & K \end{matrix}$

임의의 완비 범주 $𝒞$ 및 임의의 작은 범주 $𝒥$ 에 대하여 극한 함자

\underset{𝒥}{\lim_{\leftarrow}} : 𝒞^{𝒥} \to 𝒞

를 정의할 수 있으며, 임의의 쌍대 완비 범주 $𝒞$ 및 임의의 작은 범주 $𝒥$ 에 대하여 쌍대 극한 함자

\underset{𝒥}{\lim_{\to}} : 𝒞^{𝒥^{op}} \to 𝒞

를 정의할 수 있다. 특히, 작은 범주의 범주는 데카르트 닫힌 범주이므로, 두 개의 작은 범주 $ℐ$ , $𝒥$ 및 함자

D : 𝒥 \times ℐ^{op} \to Set

D \in {Set}^{𝒥 \times ℐ^{op}} ≃ ({Set}^{𝒥})^{ℐ^{op}} ≃ ({Set}^{ℐ^{op}})^{𝒥}

에 대하여, 함자

\underset{ℐ}{\lim_{\to}} D \in {Set}^{𝒥}

\underset{𝒥}{\lim_{\leftarrow}} D \in {Set}^{ℐ^{op}}

\underset{𝒥}{\lim_{\to}} \underset{ℐ}{\lim_{\leftarrow}} D \in Set

\underset{ℐ}{\lim_{\leftarrow}} \underset{𝒥}{\lim_{\to}} D \in Set

를 정의할 수 있다. 또한, 극한 또는 쌍대 극한의 보편 성질에 의하여 표준적인 함수

\underset{𝒥}{\lim_{\to}} \underset{ℐ}{\lim_{\leftarrow}} D \to \underset{ℐ}{\lim_{\leftarrow}} \underset{𝒥}{\lim_{\to}} D

가 존재한다.

작은 범주 $𝒥$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$ℵ_{0}$ -여과 범주이다.
(극한과 쌍대 극한의 교환 법칙) 임의의 유한 개의 사상들을 갖는 범주 $ℐ$ 및 임의의 함자 $D : 𝒥 \times ℐ^{op} \to Set$ 에 대하여, 표준적인 사상 $\underset{𝒥}{\lim_{\to}} \underset{ℐ}{\lim_{\leftarrow}} D \to \underset{ℐ}{\lim_{\leftarrow}} \underset{𝒥}{\lim_{\to}} D$ 는 항상 전단사 함수이다.