아핀 사상

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서, 아핀 사상(affine寫像, 틀:Llang)은 모든 아핀 열린집합의 원상이 아핀 열린집합인 스킴 사상이다. 아핀 스킴의 개념의 상대화(相對化)이다.

정의

두 스킴 $X$, $Y$ 사이의 스킴 사상 $f:X\to Y$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 아핀 사상이라고 한다.

• $Y$의 임의의 아핀 열린집합 $\mathrm{Spec}R\cong U\subseteq Y$에 대하여, 열린집합 $f^{-1}(U)\subseteq X$ 역시 아핀 스킴이다.틀:Rp
• 모든 $f$-원상이 아핀 열린집합이 되는 아핀 열린집합 $U_i\subseteq Y$들로 구성된 $Y$의 덮개 $(U_i{)}_{i\in I}$가 존재한다.틀:Rp

성질

다음이 주어졌다고 하자.

• 분리 스킴 $X\to \mathrm{Spec}\mathbb{Z}$
• 스킴 $Y$
• 준콤팩트 함수인 스킴 사상 $f:X\to Y$

그렇다면, 세르 아핀성 조건(Serre affine性條件, 틀:Llang)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 아핀 사상이다.
• 준연접층 범주 사이의 직상 함자 $f_{*}:\mathrm{QCoh}(X)\to \mathrm{QCoh}(Y)$는 완전 함자이다.

특히, $Y=\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$일 경우를 생각하면, 임의의 스킴 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 아핀 스킴이다.
• 위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, $X$ 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 $ℱ\in \mathrm{QCoh}(X)$에 대하여, $\mathrm{\forall }i\in {\mathbb{Z}}^{+}:{\mathrm{H}}^i(X;ℱ)=0$이다.

연산에 대한 닫힘

유한 개의 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이다.

아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴 $X$, $Y$, $Z$ 및 아핀 사상 $f:X\to Y$ 및 스킴 사상 $g:Z\to Y$에 대하여, $(f,g)$에 대한 올곱 $X_{Y}Z$를 정의하면, 올곱의 정의에 등장하는 표준적 사상 ${\pi }_Z:X{\times }_{Y}Z\to Z$ 역시 아핀 사상이다.

$\begin{array}{ccc}X{\times }_{Y}Z& \stackrel{{\pi }_Z}{\to }& Z\\ {\pi }_X\downarrow {\pi }_X& & g\downarrow g\\ X& \to f& Y\end{array}$

함의 관계

모든 아핀 사상은 준콤팩트 함수이자 분리 사상이다. 모든 유한 사상은 아핀 사상이다.

		분리 사상
		∪
준콤팩트 함수	⊃	아핀 사상	⊃	유한 사상	⊃	닫힌 몰입

예

두 아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 (자명하게) 항상 아핀 사상이다.

임의의 스킴 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 아핀 스킴이다. 즉, $X\cong \mathrm{Spec}R$인 가환환 $R$가 존재한다.
• 유일한 스킴 사상 $X\to \mathrm{Spec}\mathbb{Z}$가 아핀 사상이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용