아이디얼 몫

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서 아이디얼 몫(틀:Llang)은 같은 가환환 속의 두 아이디얼에 대하여 정의되는 이항 연산이다. 이는 아이디얼에 대한, 나눗셈의 일반화이다. 대수기하학에서, 이는 두 부분 대수다양체의 ‘차집합’에 해당한다. (대수기하학에서 아이디얼의 곱셈은 대략 부분 대수다양체의 ‘합집합’에 해당하며, 이는 그 역연산에 ‘가장 가까운’ 연산이다.)

정의

가환환 $R$의 아이디얼 $𝔦,𝔧\subseteq R$가 주어졌다고 하자. 그 몫 아이디얼은 다음과 같은 부분 집합이다.

$(𝔦:𝔧)=\{r\in R:r𝔧\subseteq 𝔦\}$

이는 $R$의 아이디얼을 이룬다.

증명:

다음 조건들을 모두 증명하면 족하다.

• $(𝔦:𝔧)$가 덧셈에 대하여 가환 모노이드를 이룸:
  • 만약 $r,s\in (𝔦:𝔧)$라면, $(r+s)𝔧\subseteq r𝔧+s𝔧\subseteq 𝔦+𝔦=𝔦$
• $(𝔦:𝔧)$가 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룸:
  • 만약 $r\in (𝔦:𝔧)$라면, $(-r)𝔧=r(-𝔧)=r𝔧\subseteq 𝔦$
• $(𝔦:𝔧)$가 $R$의 가군을 이룸:
  • 만약 $r\in (𝔦:𝔧)$이며 $s\in R$라면, $(sr)𝔧=r(s𝔧)\subseteq r𝔧\subseteq 𝔦$

성질

다음이 성립한다.

$(𝔦:R)=𝔦$

$(R:𝔧)=R$

$(0:𝔧)={\mathrm{Ann}}_R(𝔧)$ (아이디얼의 소멸자)

$(𝔦:0)=R$

보다 일반적으로, 만약 $𝔧\subseteq 𝔦$라면, 다음이 성립한다.

$(𝔦:𝔧)=R$

기하학적으로, 이는 만약 $J\supseteq I$일 때 $I\setminus J=\varnothing$임에 해당한다.

아이디얼 몫은 다음과 같은 ‘분배 법칙’을 따른다.

$(𝔦:(𝔧+𝔨))=(𝔦:𝔧)\cap (𝔦:𝔨)$

대수기하학적으로, 아이디얼의 합은 대략 부분 대수다양체의 교집합에 해당하며, 아이디얼의 교집합은 대략 부분 대수다양체의 합집합에 해당한다. 따라서 이는 집합론적 항등식

$I\setminus (J\cap K)=(I\setminus J)\cup (I\setminus K)$

에 해당한다.

예

대수다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 다항식환 $K[x_1,\dots ,x_n]$의 두 아이디얼 $𝔦,𝔧\subseteq K[x_1,\dots ,x_n]$이 주어졌다고 하자. 또한, $𝔦=\sqrt{𝔦}$라고 하자 (즉, $𝔦$는 스스로의 소근기와 일치한다). 그렇다면, 다음이 성립한다.

$Z(𝔦:𝔧)=\mathrm{cl}(Z(𝔦)\setminus Z(𝔧))$

여기서

• $\mathrm{cl}(-)$은 자리스키 위상에서 부분 집합의 폐포이다.
• $Z(𝔧)$는 $R$의 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}R$ 가운데 $𝔭/𝔧\in \mathrm{Spec}(R/𝔧)$인 것이다. 즉, 이는 $𝔧$에 대응하는 부분 대수다양체의 점들이다.

예를 들어, $ℂ[x,y,z]$ (복소수 3차원 아핀 공간) 속의 아이디얼 $(xyz)$ ($x$평면· $y$평면 · $z$평면의 합집합)와 $(xy)$($x$평면과 $y$평면의 합집합)를 생각하자. 이 경우

$((xyz):(xy))=(z)$

이다.

정수

정수환 $\mathbb{Z}$은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 이 경우 아이디얼 몫은 다음과 같다.

$((m):(n))=\left(\frac{m}{\gcd \{m,n\}}\right)$

여기서 $\gcd$는 최대공약수이다. 또한,

$\gcd \{m,0\}=m$

$\frac{0}{0}=1$

로 간주한다. 즉, 풀어 쓴다면

$((m):(n))=\{\begin{array}{cc}(m/\gcd \{m,n\})& m\ne 0\ne n\\ (1)& n=0\\ (0)& m=0\ne n\end{array}$

이다.

특히, 만약 $m$이 $n$의 배수일 경우

$((m):(n))=(m/n)$

이 된다. 반면, 만약 $m$과 $n$이 서로소인 경우

$((m):(n))=(m)$

이다.

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용