스피너 라플라스 연산자

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서, 스피너 라플라스 연산자(틀:Llang)는 스핀 다양체의 스피너 다발의 단면에 대하여 자연스럽게 정의되는 2차 미분 연산자이다. 이는 라플라스-벨트라미 연산자와 스칼라 곡률의 ¼의 합과 같다.

정의

콤팩트 스핀 다양체 $M$의 스피너 다발 $\mathrm{S}M$이 주어졌으며, 이에 대한 디랙 연산자

$D:\mathrm{\Gamma }(\mathrm{S}M)\to \mathrm{\Gamma }(\mathrm{S}M)$

$D:{\psi }^A\mapsto {\gamma }_B^{A\mu }{\partial }_{\mu }{\psi }^B$

가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 그 제곱

$\mathrm{\Delta }=D\circ D:\mathrm{\Gamma }(\mathrm{S}M)\to \mathrm{\Gamma }(\mathrm{S}M)$

을 정의할 수 있다. 이를 스피너 라플라스 연산자라고 한다.

만약 $M$이 짝수 차원이라면, (디랙) 스피너 다발은 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.

$\mathrm{S}M={\mathrm{S}}^{+}M\oplus {\mathrm{S}}^{-}M$

$D^{+}:{\mathrm{S}}^{+}M\to {\mathrm{S}}^{-}M$

$D^{-}:{\mathrm{S}}^{-}M\to {\mathrm{S}}^{+}M$

$(D^{\pm }{)}^{†}=D^{\mp }$

그렇다면,

$\mathrm{\Delta }\upharpoonright \mathrm{\Gamma }({\mathrm{S}}^{+}M)=D^{-}\circ D^{+}$

$\mathrm{\Delta }\upharpoonright \mathrm{\Gamma }({\mathrm{S}}^{-}M)=D^{+}\circ D^{-}$

이다.

보다 일반적으로, 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 클리퍼드 다발 $\mathrm{Cl}(\mathrm{T}M,g)$의 클리퍼드 가군 다발 $E$ 및 $E$의 클리퍼드 가군 다발 접속 $\mathrm{\nabla }$가 주어졌을 때, 스피너 라플라스 연산자

$D={\gamma }^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }:\mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(E)$

를 사용하여 스피너 라플라스 연산자

$\mathrm{\Delta }=D\circ D$

를 정의할 수 있다. 여기서

${\gamma }^{\mu }:\mathrm{T}M\to \mathrm{Cl}(\mathrm{T}M,g)$

는 클리퍼드 다발을 정의하는 표준적인 포함 사상(감마 행렬)이다.

성질

스핀 다양체 위의 스피너 다발은 리만 계량으로서 표준적인 벡터 다발 접속을 갖는다. 즉, 1차 미분 연산자

$\mathrm{\nabla }:\mathrm{\Gamma }(\mathrm{S}M)\to \mathrm{\Gamma }({\mathrm{T}}^{*}M{\otimes }_M\mathrm{S}M)$

가 존재한다. 이 경우, 스피너 위에 작용하는 라플라스-벨트라미 연산자

${\mathrm{\Delta }}_{\text{B}}=-g^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }={\mathrm{\nabla }}^{†}\mathrm{\nabla }$

를 정의할 수 있다. (여기서 ${\mathrm{\nabla }}^{†}$는 복소수 힐베르트 공간 ${\mathrm{L}}^2(\mathrm{S}M)$에서 $\mathrm{\nabla }:{\mathrm{L}}^2(\mathrm{S}M)\to {\mathrm{L}}^2(\mathrm{S}M)$의 에르미트 수반이다.)

이 경우 다음이 성립한다.

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\Delta }}_{\text{B}}+\frac{1}{4}\mathrm{Sc}[g]$

여기서

• $\mathrm{Sc}[g]\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)$는 $M$의 스칼라 곡률이다.

보다 일반적으로, 4차원 스핀C 다양체 $(M,g,L)$이 주어졌다고 하자. 즉, 그 스피너 다발 $\mathrm{S}M$에 대하여

$\det \mathrm{S}M=L$

이라고 하자. 그렇다면 디랙 연산자

$D_A:\mathrm{\Gamma }({\mathrm{S}}^{+}M)\to \mathrm{\Gamma }({\mathrm{S}}^{-}M)$

$D_A^{†}:\mathrm{\Gamma }({\mathrm{S}}^{-}M)\to \mathrm{\Gamma }({\mathrm{S}}^{+}M)$

가 존재하며, 이로부터 스피너 라플라스 연산자

$D_A^{†}{D}_A:\mathrm{\Gamma }({\mathrm{S}}^{+}M)\to \mathrm{\Gamma }({\mathrm{S}}^{+}M)$

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\Delta }}_{\text{B}}+\frac{1}{4}\mathrm{Sc}[g]+\frac{1}{2}{F}^{+}\cdot$

여기서

• $F^{+}=(F+\star F)/2$는 U(1) 주접속 $A$의 주곡률의 자기 쌍대 성분이다. 이는 클리퍼드 다발의 단면 (올다발) $F_{\mu \nu }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }/2$에 대응된다.
• $F^{+}\cdot$은 클리퍼드 다발 단면의, 클리퍼드 가군 다발 위의 작용이다.

이를 리흐네로비치 공식(Lichnerowicz公式, 틀:Llang)이라고 한다.

역사

리흐네로비치 공식은 폴란드계 프랑스 수학자 앙드레 리흐네로비치(틀:Llang, 1915 ~ 1998)가 1963년에 증명하였다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용